Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
2Я 2Я 2Я 2Я
2^5 S /*BinSdEdri, G3 = J g*sintdldr\,
0 0 0 0
271 2Л 2Я 2Я
F*= 2^" S S f*shl 11 d^dTi’ =S S 8*siu 11 d*dl]•
0 0 0 0
Здесь g = &xf + px, rj = /c2t + рг, a /* и q* определяются
выражениями (5.55).
Правые части уравнений (5.57) и (5.58) не зависят от рг и р2- Поэтому уравнения (5.57) служат для исследования а и Ъ (амплитуд). Значения а и Ъ, соответствующие стацио-
*) Прием усреднения по] нескольким периодам, по-видимому, впервые применен в работах [8, 9, 7].
150 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
парным движениям, находятся из уравнений, получаемых после приравнивания нулю правых частей уравнений (5.57). Находя из этих уравнений а и Ъ и подставляя их в уравнения (5.58), получаем поправки на частоты в соот-ветствующихстационарных режимах. Y/^///////////////(^ В качестве примера рассмотрим
задачу об автоколебаниях связанных маятников.
Рассмотрим схему двух связанных маятников (рис. 5.15). Пусть Ф — угол отклонения первого маятника, ijj — угол отклонения второго
Рис. 5.15
маятника, тпх и zn.,—массы соответ-
ственно первого и второго маятников, с — жесткость пружины, у' и у" — коэффициенты вязкого трения, I — длина маятников, а — расстояние до точек крепления пружины.
Уравнения движения такой системы при малых ф и т|з будут [14]
rrixPip + т^1(р+са2(р— со? 1); = — y'Up -f М (ф), m2l2 ф + m2ghty + ca2ty — са2 ф = — у"Щ,
где нелинейная функция
М (ф) = Е' sign ф (Е' > 0).
Вводя обозначения
g
q.t = /ф, q2 =,
D __________ ______ C a2
w. I*
ni
8 , c ai „1
I TYl\ /3 . "2-
• +
a2
m2 I*
B,
m2 ’
перепишем уравнения движения в виде
Е
Е’
m-il
9i + + nki<3i + К sign ([г,
q2 + B2qt + n\q2 = —
Предположим теперь, что затухание обеих парциальных систем мало, т. е. пусть безразмерные величины
§ 3] СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 151
Предположим также, что возбуждающий момент «мал», т. е.
-4-< 1. ni
Тогда уравнения движения системы можно записать следующим образом:
<h + В1Ч1 + nhi = № (— 0г + Ео sign ('-,),
Чъ + R-i4\ + = (i"i (5.60)
где
Ц = Е0 = -^~, К=-^С.
г milni ’ "у ’ т2у
Будем считать ц тем малым параметром, который характеризует близость системы (5.60) к линейной консервативной. Система (5.60) имеет вид (5.46), но Ах = Л2 = 0. Следовательно, уравнение частот (5.48) примет вид
/с4 — (n2 -f п1)кг -f п\п\ — ВХВ2 = 0,
а коэффициенты распределения определятся по формулам
Вг п\ - *1 Я2 п\ -
cti - о _ п - г> ч 0^2
„г nl-kt~ В,
Уравнения (5.57) и (5.58) при этом будут иметь вид
dt
db 1 Г
dx
1 1 Г
col
43
dx kian^ L
dP2 _ 1
dx
(5.61)
(5.62)
\ln^t
где т-= -Г-Г5—а F1’ F2, Fз,/'4, Glt Ga, G3, G4 опреде-/ (ft' —
ляются по формулам (5.59).
Так как в рассматриваемом случае
/ (?i, (1, ?«. ?«) = П\ (— + ?„ sign 41),
? (?Х* ^1) ?2l $2) — -
152
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Г.
ТО
2Я 2 Я
[ — акг cos ? — bk2 cos г| +
о о
+ Е0 sign (акх cos ? + bk2 cos т])] cos ? d? dr] =
2Л 2Я
= — ^ ^ sign (йй:, cos | + Ькйcos tj)cos? d?dr|,
U О
На рис. 5.16 и 5.17 построены на плоскости ?т] области, где q1 = акгcos ? -f- &A2cosrj имеет положительное и отри-
цательное значения соответственно для акг Ък2 и акг <С Ьк2. Для случая акг Ькг имеем
Fx =
2Я _ ^ е, 2Л
= — ^ dr)\j cos\ d| — jj cos ? d? + cos\d\
оо & ё2
= — BjV + -^1. jj |/ 1 - (-^J-)2cos2 tjdrj, (5.63) 0
так как
S''"?' I 1 — (-Sr)3 cosS "1’
sin l2 ~ — |/ 1 — cos2 т].
Если акг <C bk2, to
Я/2 __________________
Fj = — n^a + jj ]/ 1 - cos2 t) dr), (5.64)
ni
2яЗ
§ 31
СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
153
