Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
где Р — вес всей системы, 1Х — расстояние от оси вращения до центра масс всей системы, с— коэффициент, характеризующий жесткость пружины, которой соединены
*) Постоянные члены в этом выражении отброшены.
§ 4] СИСТЕМЫ С ГИРОСКОПИЧЕСКИМИ СИЛАМИ 165
кожух и маятник, у' и у" — коэффициенты вязкого тре-нпя. Уравнения движения системы будут
/0 а — /сор = — Ply а — у'±,
/J + /сох = — ср + Мр (3) —
Вводя обозначения
/СО /(О ^2 с
получим
Хх. , Ко— J , Пу — - . , «1- г ,
JО J I Jo '1
х^ + /г2а =-----------------------у-
-/П
v" (Р)
Л 1 /1 •
Аппроксимируем мометтт М$ (3) кубической параболой [161:
М(, (|3) - с? - с.2р3 (су > 0, с2 > 0).
Предположим, что рассматриваемая система близка к линейной, т. е. момент М$ ((3) мал и мало вязкое трение.
Будем считать, что безразмерные величины удовлетворяют условиям
С1~т* —: 1 *-п <g?i
fmi ^ ’ /о»1 ^ ’ hn^1-
Тогда, введя |а = ^Yn ~ пеРопитем уравнения движения в виде
а — х^ + п\а = (а/гх (—'kyi),
Р + х2а + тг^р = (Р — А,2р3), где
1 Yh 1 _ с2
/о (Cl -У*) ’ 2 Су-У" ¦
Уравнения (5.81) имеют вид уравнений (5.75). Решение уравнений (5.81) будем искать в виде (5.76). Тогда уравнения для а, Ъ, Pj и р2 (5.79) будут
= А (а0 — и — 2и) и — Р (и, v),
(5.82)
v B(b0 — v — 2 u)v~Q(u,v),
(5.81)
dx
-^¦=0, 4^ = 0, (5.83)
dx dx v 7
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
где
и = alk^a1 > О,
v — а\к\Ь2 О,
Из уравнений (5.83) следует, что = const и (32 = const.
Перейдем к исследованию уравнений (5.82). Особыми точками (состояниями равновесия) системы (5.82) являются: Рг с координатами иг — 0, vx = 0, соответствующая состоянию равновесия исходной динамической системы; Р.2 с координатами и2 = 0, v2 = b0, соответствующая периодическому движению исходной динамической системы с частотой к2; Р3 с координатами и3 = а0, v3 = 0, соответствующая периодическому движению исходной системы с частотой к^; с координатами ui = V3 (2Ъ0 — а0), у4 = х/3 (2а0 — Ъо). Эта точка соответствует бигармони-ческому движению исходной системы с частотами кг и к2.
Характер состояний равновесия определим по знакам величин (§ 4 гл. 1)
р — 2 (и + v) (А +5) — (Аа0 + ВЬ0), q = АВ [а0 — 2 (и + у)] [60 — 2 (и + г;)] — 4ABav.
Для состояния равновесия Рх (их = 0, vx = 0)
Р = — (Аа0 + Bb0), q = АВа0Ь0.
Для состояния равновесия Рг (и2 = 0, v2 = b0)
Р = ВЪ0 + A (2b0 — а0), q = АВЬ0 (2Ъ0 — а0).
Для состояния равновесия Р3 (и3 = а0, v3 = 0)
р = Аа0 + В (2а0 — b0), q = АВа0 (2а0 — Ь0).
Для состояниия равновесия
Р = — 1Ри' (м0, v0) -h <?„' (м0, q = />„ (^01 Vo) Qv (Mm Уо) (wo> Vq) Qu (u0, Vq). Для рассматриваемого случая
q — —3 АВи^^.
СИСТЕМЫ С ГИРОСКОПИЧЕСКИМИ СИЛАМИ
167
Это значит, что если точка Р4 существует, то q < 0, так как и-4 ^>0, у4 0. Следовательно, состояние равновесия вне осей и иг; является седлом. Таким образом, существование и характер состояний равновесия системы (5.82) определяется вличинами а0 и Ь0.
В табл. 2 приведены возможные случаи.
Таблица 2
Случай Состояние равновесия
Р. Рг Р3 Р,
1 ао < 0, 6о<0 У стойчивый Нет Нет Нет
узел
2 а0>0, 60<0 Седло Нет У стойчи Нет
вый узел
3 а0<0, Ь0>0 Седло Устойчивый Нет Нот
узел
4 а0>0, Ьп > 0, Неустойчи Седло У стойчи Нот
ао > 26о вый узел вый узел
5 ао > 0, 6о>0, Неустойчи У стойчивый У стойчи Седло
а0<С26о, ао>Ьо вый узел узел вый узел
6 ао>0, Ь„>0, Неустойчи У стойчивый Устойчи Седло
2ао^>Ьо> а0 вый узел узел вый узел
7 ао>0, 6„>U, Неустойчи У стойчивый Седло Пет
Ьо2«о вый узел узел
Так как и = 0, v = 0 — интегральные кривые и, кроме седла, вне осей других особых точек нет, то система (5.82) предельных циклов не имеет. Для больших и и v du/dx<^ 0, dv/dx<^ 0, т. е. бесконечность неустойчива.
На рис. 5.26 показаны картины фазовой плоскости для случаев 1, 2, 3, 4, 5 и 7. Итак, если а0 < 0, Ь0 < 0, то исходная динамическая система при любых начальных условиях стремится к состоянию покоя. При а0 0, Ь0 < <0 в системе устанавливаются периодические колебания с частотой кг, при ай < 0, Ь0 > 0 — периодические колебания с частотой /с2.
