Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
НЕАВТОНОМНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
131
ным вопросом теории является нахождение интервала захватывания, т. е. той наибольшей разности частот, при которой еще имеет место захватывание, в то время как при дальнейшем увеличении различия между частотами захватывание уже не имеет места и наступает особый режим, связанный с наличием в системе квазипериодического движения с двумя основными частотами, из которых одна — частота внешней силы, а другая — более пли менее измененная частота автоколебательной системы (режим биений).
Впервые приближенную теорию явления захватывания в регенеративном приемнике дал Ван-дер-Поль [15]. Математическое обоснование теории захватывания было дано в работах А. А. Андронова и А. А. Витта [4]. В настоящее время имеется большая литература, посвященная атому вопросу ([23, 27, 29, 26] и др.).
Мы рассмотрим явление захватывания на примере маятника, возбуждаемого подталкивающей силой [13]. Для малых колебаний маятника уравнение движения будет иметь вид
ml2(р + mgly + v'cp = Е (ф) + A' sin pt.
Здесь т — масса маятника, I — его длина, у' — коэффициент вязкого трения, р — частота внешней силы, Е (ф) — подталкивающая сила. Функцию Е (ф) будем считать запаздывающей. Это значит, что изменение этой функции всегда опаздывает на постоянный отрезок времени At по отношению к соответствующему значению аргумента, при котором должно произойти изменение функции. Если бы запаздывания не было, то эта функция аппроксимировалась бы следующим образом:
Вводя обозначения т = pt, к2 = g/l, получим
/ d ф
d2cp к2 А' у' drp ^ \ dx ^
“ТТ Ч----------йг Ф =------гт-T-Slll т------------L-----------------------------
dx2 р2 т mVp2 ml-p dx 1 ml-p-
Sll) T —
Рассмотрим систему, близкую к «резонансу», т. е. будем считать, что
I к2 - Р2 I
132 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
Предполагая, что безразмерные величины имеют значения
_Г-.| —?-<йМ .. .J Д'1- 1
m/V ^ ’ mi2p2
и вводя расстройку ? при помощи соотношения
-pf — 1 + н?>
перепишем уравнение движения н виде
*1. — „I J т _ _ rrn I / _^ф
(№
+ ф I' [ А0 sin т — — ?cp + Е* (-J1) ’ (5-ЗП)
где fi ---малый параметр, характеризующий бли-
зость рассматриваемой системы к линейной консерватив-Е А’
ной, Е* = "Yp t А0 ~ ,р • Уравнение (5.30) имеет вид
(5.26), и, следовательно, в соответствии с уравнениями
(5.29) получим
da U / о, . АЕп a cos Д — 6 sin Д
dx - т- (-“ + »- л. + тг - ултг>
ё-ЧК~»-^ + ^,,у;??'4)'
Е'
где А = />А/, Vi1,, - ~yJT • После введения обозначений
т, 4Е0 а Ь . А0 2
я ’ х В ’ 11 В ’ В ’ Т| т ~jT
получим
dx , «. . , ж cos Д—у sin Д
-5— — — х 4- lu — А Н........................................ -— .
diy ^ ^ Yxi + vz
du v , х sin Д + у cos Д
------— у — &с + ¦
(5.31)
dx 1 |/ ;г2 -j- (/‘-J
Так как решение уравнения (5.30) мы искали в виде Ф — a cos т + b sin т, то особая точка на плоскости ху соответствует предельному циклу для исходной динамической системы. Предельные циклы на плоскости ху соответствуют для исходной системы режимам биений. Для удобства исследования системы (5.31) перейдем к полярным координатам
х = р cos г1}, у — р sin О.
§ 2] НЕАВТОНОМНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 133
Вычисляя производные
dx dp n • о. d$
-J— = -r— COS ft — p Sin ft -3- ,
dtl dxx 1 dxx ’
sin ft + p cos ft , dxi dti 1 drj ’
dp • о. I q. dO
-r— sin ft + 0 COS ft —:— = dx i • rfTi
и подставляя их в уравнения (5,31), получим
Ф а . „ Й
—г— cos ft ¦— р sm ft — —
</Т] ‘ (/Ti
р cos ft + 'Qp sin ¦0 — А + cos ft cos A — sin ¦0 sin A>
а dfl
) cos ft —— = dxi
— — р sin "ft — ?p cos ft + cos ¦0 sin Д + sin ¦0 cos A,
откуда
-jjP- = — p — A cos ¦0 + cos A — P (p, ft),
(5.32)
