Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Разработке и обоснованию методов исследования таких квазилинейных систем и приложению этих методов к решению конкретных задач посвящена большая литература. Не останавливаясь на обзоре всей этой литературы, укажем только основополагающие работы. Это фундаментальные исследования по разработке асимптотических методов исследования нелинейных систем Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского [18, 19, 5, 25]; работы JI. И. Манделыптамма, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова, А. А. Витта [3, 4, 23, 27]; работы Б. В. Булгакова [6, 7]. В основе этих методов лежит гипотеза о наличии порождающего решения, за которое берется решение системы (5.1) при |х *= 0.
Отметим, что существуют и другие методы малого параметра, определения периодических режимов, которые не предполагают наличия порождающего решения, а исходят из так называемой гипотезы фильтра [1, 2], которая опирается на наличие у любой реальной системы конечной полосы пропускания частот.
В данной главе, имеющей целью показать характерные особенности квазилинейных систем, рассматривается лишь один метод — метод медленно меняющихся коэффициентов, связанный с проблемой осреднения. Начало применения этого метода к задачам теории нелинейных колебаний принадлежит Ван-дер-Полю [15]: дальнейшее его развитие и обоснование связано с именами Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского, JI. И. Манделыптамма,
Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова, Б. В. Булгакова и их учеников и последователей. Указанный метод нами используется еще и потому, что позволяет в наибольшей степени использовать идеи А. А. Андронова по качественному исследованию дифференциальных уравнений.
§ 1] СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 117
§ 1. Автономные динамические системы с одной степенью свободы
Уравнение движения квазилинейной автономной динамической системы имеет вид
«и? + cltq = fi/j (q, q). (5.2)
Будем считать, что обычно безразмерный коэффициент И- > о. ___
Введем в рассмотрение базразмерное время т— \ f -^—t,
____ t «и
do dx dq i / Cii .. d'q сц тогда в силу = у —,
нение (5.2) примет вид
-g. + g = Ii/(9,-g.), (5.3)
где
Если ввести обозначение q* = dqldx, то уравнение (5.3) можно представить в виде двух уравнений первого порядка:
dq
dx
Я
*
На фазовой плоскости qq* уравнение интегральных кривых будет
dq* _ —q + y.f(q,q*)
dq q* ' ' '
При (x = 0 рассматриваемая динамическая система будет линейной консервативной и фазовые траектории на плоскости qq* представляют собой вложенные друг в друга концентрические окружности с центром в начале координат, являющимся состоянием равновесия. В этом случае решением уравнения (5.3) служит
q — a cos т + b sin т, (5.5)
где а и b — постоянные числа (постоянные интегрирования).
118 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
Пусть теперь |и, отлично от нуля, но достаточно мало. Выясним, как изменится при этом картина разбиения плоскости qq* на траектории. Будем искать решение уравнения (5.3) в виде (5.5), считая коэффициенты а и Ъ функциями времени. Тогда
dq . , , ,db db /r
—¦ — a sin т + b cos т + cos т -J—sin т. (5.о)
Из выражения (5.5) видно, что при заданном q функции а и Ъ недостаточно определены, поэтому наложим на них ограничение, заключающееся в том, что производная от q по т должна иметь такой же вид, как при постоянных а и Ь. Следовательно,
dq
dx
— asinx + bcosT (5.7)
do, db . n j*. л.
-^-cosT + -^-smT = U, (5.8)
Дифференцируя выражение (5.7) по т, получаем
d2q , . da . db .г
—т4г — — a cos т — b sin т-----у— sin т H—з— cos т. (5.9)
dx2 dx 1 dx '
Подставляя это соотношение и соотношение (5.7) в уравнение (5.3), имеем
da db
----j— sm т + —cos t -
dx ' dx
= p/(a cost + b sin t, — asinx + bcosr). (5.10)
Уравнения (5.8) и (5.10) представляют собой систему уравнений для определения dafdx и dbfdx. Решая эту систему, будем иметь
= — [if (a cos т + Ъ sin т, — a sin т + b cos т) sin т,
(5.11)
= \if (a cos х -\-b sin т, — a sin т -|- b cos т) cos т.
Полученные уравнения — это уравнение (5.3), преобразованное к новым переменным. Эта система уравнений неавтономна, тогда как исходное уравнение было автономным. Из выражений (5.11) следует, что производные daldx и db/dx при достаточно малом р достаточно малы, и мы можем считать, что функции о и Ъ являются медленно меняю-
