Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что функция F(u,v), будучи по определению величиной сугубо положительной, на единичной окружности в плоскости (и, v) меняется в ограниченных пределах. Следовательно, она достигает там своего минимального и максимального значений. Аффинное преобразование будет сжимающим, если максимальное значение этой функции окажется меньше единицы.
Нахождение этих значений является задачей на условный экстремум функции двух переменных. С помощью метода неопределенных множителей Лагранжа она сводится к нахождению безусловного экстремума функции
F(u,v) + \(l-u2-v2), (1.48)
где А — множитель Лагранжа.
53 Приравнивая нулю частные производные по и и v от этой функции, приходим к системе уравнений
(іа2 + с2)и + (ab + cd)v — Xu = О,
(ab + cd)u + (b2 + d2)v - Xv = 0. (1.49)
Ее можно записать в матричной форме
(L50)
где Ar — транспонированная матрица.
Таким образом, для обеспечения экстремума функции F(u,v) на
единичной окружное™ вектор ( » ) должен быть собственным век-
тором матрицы AtA1 а соответственно величина Л — ее собственным значением. Поскольку характеристическое уравнение квадратное, то в общем случае имеется два таких значения.
Умножая первое из уравнений (1.49) на и, а второе на г? и затем складывая, получим, что экстремальное значение функции F(и, v) = Л. Максимуму, очевидно, соответствует максимальное собственное значение — Amax, а минимуму — минимальное, Amin. Длина произвольного отрезка L после применения аффинного преобразования (1.34) оказывается заключенной в интервале
Amin L < L' < \]AmaxL. (1-51)
Поэтому преобразование будет сжимающим при условии Amax < 1. Коэффициент сжатия при этом обычно определяется наибольшей величиной, \/Атах-
1.2.5 Лист папоротника
Одним из наиболее ярких примеров среди различных систем итерируемых функций, несомненно, является открытая М. Барнсли система из четырех сжимающих аффинных преобразований, аттрактором для которой является множество точек, поразительно напоминающее по форме изображение листа папоротника. Ее можно представить
54 в виде следующей таблицы
а b с d е f P
0 0 0 0.16 0 0 0.01
0.85 0.04 -0.04 0.85 0 1.6 0.85
0.2 -0.26 0.23 0.22 0 1.6 0.07
-0.15 0.28 0.26 0.24 0 0.44 0.07
(1.52)
Каждая строчка этой таблицы соответствует одному аффинному преобразованию с коэффициентами а, 6, с, d, е, / в соответствии с выражением (1.34). В последнем столбце таблицы приведены вероятности р, в соответствии с которыми в методе случайных итераций выбирается то или иное преобразование.
Результат действия этой системы функций на некоторую начальную точку для разного числа итераций приведен на рис. 1.43. Видно,
Рис. 1.43. Лист папоротника. Слева направо показано 2000, 4000, 10 000, 50 000 и 200 000 итераций.
как с ростом числа итераций действительно возникает все более и более четкое изображение листа папоротника, удивительным образом напоминающее существующее в природе растение.
Это множество точек бесконечно самоподобно, как и полагается всякому фракталу. Как следует из рис. 1.44, увеличенные малые фрагменты изображения подобны целому. Для разрешения этих фрагментов необходимо только, чтобы число итераций было достаточно велико.
Таким образом, чем больше используемое разрешение, тем больше точек требуется внести в память компьютера для того, чтобы построить соответствующее изображение. С другой стороны, запоминать
55 координаты этих точек вовсе не требуется, так как они каждый раз могут быть заново получены с использованием системы функций, заданных таблицей (1.52).
В результате всего 28 чисел содержат всю необходимую информацию об этом нетривиальном рисунке! Возникает мысль, а нельзя ли подобным образом "кодировать" и другие изображения. Эта идея, будучи реализованной на практике, позволила бы сжимать изображения в десятки или даже в сотни раз. И действительно в 1988 г. она была успешно воплощена Барнсли и Слоаном в созданной ими совместно компании по кодированию и сжатию графической информации с помощью соответствующим образом подобранной системы функций.
Давайте разберем более подробно этот замечательный пример и дадим по возможности наглядную геометрическую интерпретацию числам, приведенным в таблице (1.52). Для этой цели на рис. 1.45 показано действие этой системы функций на квадрат ABCD (изображенный на рисунке пунктиром), повернутый на 45° так, что одна из его диагоналей совпадает с вертикальной осью у, а другая параллельна горизонтальной оси х (на рисунке, чтобы избежать громоздкости, сами оси не показаны 8). Начало координат при этом совпадает с точкой А.
Первое преобразование соответствует сжатию этого квадрата в вертикальный отрезок прямой, длина которого составляет 16% от диагонали квадрата. Он обозначен на рисунке цифрой 1. Как мы убедимся ниже, это будущий "стебель" всех листьев папоротника.
8 По этой же причине не показаны также вершины Aj всех возникающих параллелограммов.
Рис. 1.44. Увеличенный фрагмент листа папоротника.
56 с,
Рис. 1.45. Действие системы функций (1.52) на квадрат ABCD.
