Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
1.2.2 Метод случайных итераций, или игра в хаос
Рассмотрим следующую незамысловатую игру, которую М. Барнсли назвал игрой в хаос (chaos game). Возьмем уже знакомый нам равносторонний треугольник с вершинами в точках А, В и С. Выберем внутри этого треугольника произвольным образом начальную точку. Бросим теперь игральную кость, представляющую собой кубик, на 6 гранях которого проставлены буквы А, В и С. Пусть каждая буква присутствует на двух из них, тогда вероятность выпадания любой буквы одинакова и равна 1/3.
Допустим, что в результате первого броска выпала буква А. Соединим мысленно нашу начальную точку с вершиной треугольника А отрезком прямой и на его середине поставим точку (см. рис. 1.26). Пусть теперь она будет играть роль начальной. После чего повторим вышеописанную процедуру с бросанием кубика и проставлением точки в середине соответствующего отрезка. Допустим, на втором шаге выпала буква С, потом В, затем опять С и т. д. В результате на каждом шаге мы будем получать все новые и новые точки. Спрашивается, как распределятся внутри треугольника эти точки после достаточно большого числа шагов?
37 в
А
С
Рис. 1.26. Игра в хаос. Первые 4 шага.
Ниже, на рис. 1.27 (слева направо), показаны результаты этой игры соответственно с 5000, 10 ООО и 50 000 точек. Невероятно, но факт — по мере увеличения числа точек все явственнее проступает структура треугольника Серпинского. Видно, что, хотя каждый раз выбор вершины треугольника происходит чисто случайным образом, возникающее множество точек на плоскости отнюдь не случайно и обладает ярко выраженной фрактальной структурой.
Связь этой простой игры в хаос с системой итерируемых функций, рассмотренной в предыдущем параграфе, легко прослеживается. Действительно, можно заметить, что по сути на каждом шаге к начальной точке z применялось (случайным образом выбранное) одно из трех вышеописанных линейных преобразований fi(z), /2(2) или fe(z). Если обозначить координаты вершин треугольника А, В, С на комплексной плоскости через za, Zb и zc соответственно, то по-
Рис. 1.27. Игра в хаос. Результат.
38 скольку za = 0, Zb = 1/2 + г\/3/2 и = 1, видно, что
<• / \ H- -2-а 1
ЛW = 2 ~ 2г'
Л« = = Г + 1> (1-22)
, , > г + Zi 1 1 .л/3
/»W = — = 2* + 4 + *"Г
Таким образом, треугольник Серпинского, являясь аттрактором для этой системы итерируемых функций, возникает и при чисто случайном выборе последовательности преобразований Utjtk____ Можно
показать, что изображающая точка в результате бесконечной цепочки случайных итераций сколь угодно близко подойдет к каждой точке этого фрактального множества. Рис. 1.28 поясняет эту мысль.
Рис. 1.28. Как появляется аттрактор.
Возьмем, например, начальную точку в центре самого большого исключенного треугольника. На следующем шаге изображающая точка оказывается в центре одного из трех треугольников поменьше. Эти треугольники представляют собой геометрическое место точек, которые находятся на половине расстояния до соответствующих вершин от точек большого центрального треугольника. При следующей
39 итерации точка попадает в центр еще меньшего исключенного треугольника и т. д. В конце концов уже после небольшого числа итераций точка попадет в исключенный треугольник столь малого размера, что его можно для всех практических целей считать точечным 7.
Разумеется, для этой игры было совершенно несущественно, что исходный треугольник являлся равносторонним. С равным успехом ее можно было провести в треугольнике любой формы (см. рис. 1.29).
Рис. 1.29. Скошенный треугольник Серпинского.
А что будет, если мы теперь несколько изменим правила игры? Например, будем проставлять точку не на середине отрезка, а на расстоянии в 1/3 от соответствующей вершины. Результат показан на рис. 1.30. Получившееся множество точек можно назвать двумерным аналогом канторовского множества исключенных средних третей. Нетрудно подсчитать, что фрактальная размерность соответствующего аттрактора равна единице.
В качестве исходной фигуры можно выбрать и любой другой многоугольник. Например, квадрат. Однако в случае квадрата нас ожидает сюрприз. Если проводить игру по тем же правилам, что и для треугольника Серпинского (т. е. ставить новую точку на середине отрезка), то точки равномерно заполнят весь квадрат (подумайте, почему?). Но если, например, взять правильный шестиугольник и
7 После 10 итераций размер этого маленького треугольника составляет 2~10 га
IO-3 от размера исходного треугольника, а после примерно 30 итераций становится сравнимым с размером атома!
40 Рис. 1.30. Фрактальная пыль, D = I.
ставить точку не в середине отрезка, а на расстоянии в 1/3 от соответствующей вершины, то эти точки в процессе итераций образуют множество, которое условно можно назвать шестиугольником Серпинского. Он показан на рис. 1.31.
Рис. 1.31. Шестиугольник Серпинского.
Как видно, он состоит из 6 одинаковых частей, каждая из которых подобна целому, но имеет размер в три раза меньше исходного. Поэтому его фрактальная размерность D = 1п6/1пЗ = 1.6309. Кстати, именно в этом случае игра в хаос будет настоящей игрой в кости, так как теперь на шести гранях игрального кубика можно поставить цифры от одного до шести, соответствующие каждой из вершин шестиугольника. Заметьте также, что внутренняя граница этой фигуры представляет собой нам уже известный фрактал — снежинку Коха (см. рис. 1.3).
