Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Аттрактор периода два возникает в результате бифуркации неподвижной точки, когда с перемещается внутрь окружности, примыкающей слева к основной кардиоиде с центром на вещественной оси в точке (-1,0) (см. рис. 1.57) и т.д.
Значение с = —0.481762 — 0.531657 г соответствует месту прорастания почки, дающей устойчивые циклы периода 5. Все пять точек таких циклов отщепляются от жирной точки на рис. 1.58, когда с переходит внутрь почки. В этой точке ветвления множество Жю-
71 Рис. 1.57. Притягивающий цикл периода 2, с = —1.
Рис. 1.58. Параболический бассейн около неподвижной точки.
лиа стягивает теперь уже маргинально устойчивый аттрактор,
являющийся переходным между аттрактором с одной устойчивой неподвижной точкой и аттрактором, в качестве которого выступает устойчивый цикл периода 5. Это называется параболическим случаем динамики. На рис. 1.59 показаны еще два примера множеств Жюлиа подобного вида.
Помимо точек, где прорастают почки, основное тело множества Мандельброта обладает граничными точками совершенно иных типов. Так, например, для с = —0.3904 — 0.58679 г получим рис. 1.60; в этом случае неподвижная точка тоже будет маргинально устойчивой и по нашей классификации относится к типу нейтральных. Отли-
72 а) б)
Рис. 1.59. Параболический случай, а) с = —1.25; с > —1.25: притягивающий цикл периода 2; с < —1.25: притягивающий цикл периода 4; б) при подходящем произвольно малом изменении с маргинально устойчивая неподвижная точка превращается в притягивающий цикл периода 20.
чиє от параболического случая заключается в том, что граница не подходит к неподвижной точке. Не достигают ее и другие точки при своем движении. Линии, напоминающие окружности, изобра-
Рис. 1.60. Диск Зигеля около неподвижной точки и его прообразы.
женные на рисунке, являются инвариантными. Это означает, что выбрав начальную точку на какой-нибудь из этих "окружностей", мы ее уже никогда не покинем в процессе итераций. Внутри области, ограниченной множеством Жюлиа, процесс протекает следующим образом: сначала точки перескакивают из меньших, переферийных,
73 деформированных окружностей в большие до тех пор, пока не попадут внутрь диска, содержащего неподвижную точку. Этот диск называется диском Зигеля в честь немецкого математика Карла Людвига Зигеля. После того как точки попадают туда, они начинают "вращаться" вокруг неподвижной точки по своим инвариантным " окружностям".
Рис. 1.61. Дендрит, c = і.
Приведенные примеры иллюстрируют типичные случаи, когда множество Жюлиа является связным и охватывает некоторую область с внутренними точками. Однако эти примеры не описывают всех возможных структур множеств Жюлиа. Как видно из рис. 1.56, множество Мандельброта окружено иглоподобными более или менее разветвленными и изогнутыми антеннами. Если поместить с на самый конец одной из таких антенн, то мы получим и множества Жюлиа подобной формы. На рис. 1.61 показан пример с = і. Такие дендриты не имеют внутренности, т. е. они не ограничивают собой никакой области притяжения на комплексной плоскости. Стартовав с любой точки на этом дендрите, мы будем продолжать оставаться на нем бесконечно долго, совершая хаотические блуждания. Если же начальная точка с ним не совпадает, то мы уйдем в конце концов на бесконечность.
При более пристальном рассмотрении оказывается, что на каждую антенну множества M нанизано множество маленьких копий большого множества М, число которых бесконечно (см. рис. 1.62). Если значение с находится в одной из этих миниатюрных копий М, то
74 и
Рис. 1.62. Маленькие копии большого множества М.
соответствующее множество Жюлиа является некоторой комбинацией дендрита и множества Жюлиа, полученного для соответствующего значения с из основной части М. При этом последнее копируется бесконечное число раз и насаживается на дендрит. На рис. 1.63 показан один из примеров такого рода.
Рис. 1.63. Дендрит с бусами. Множество Жюлиа из вторичного множества Мандельброта.
Если взять значение с снаружи М, то единственным аттрактором, как и в случае чисто дендритовой структуры, будет бесконечность. Множество Жюлиа тогда распадается в облако точек, называемое пылью Фату. Эта пыль становится все мельче и мельче по мере удаления с от М. Если с находится вблизи границы М, то пыль
75 образует завораживающие фигуры, один пример которых был показан на рис. 1.55, а другой изображен на рис. 1.64. Эти фигуры всегда фрактальны, самоподобны и несут в себе хаотическую динамику.
Рис. 1.64. Множество Жюлиа при некотором значении с из долины морских коньков. 1.3.5 Построение множества Мандельброта
Для того чтобы построить множество Мандельброта, надо определить, является ли связным множество Жюлиа для соответствующего значения с. Это, вообще говоря, является довольно сложной задачей. Однако существует важная теорема, доказанная независимо Жюлиа и Фату, что множество Жюлиа связно тогда и только тогда, когда, стартовав из начала координат (zq = 0), последовательность итераций zn не уходит на бесконечность. Это служит эффективным критерием определения того, принадлежит ли данное значение с множеству Мандельброта или нет, и фактически является способом его построения.
