Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Фракталы и мультифракталы
Автор: Божокин С.В.Другие авторы: Паршин Д.А.
Издательство: Ижевск: НИЦ
Год издания: 2001
Страницы: 128
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
Скачать:
С. В. Божокин Д. А. Паршин С. В. Божокин, Д. А. Паршин
ФРАКТАЛЫ И МУЛЬТИФРАКТАЛЫ
Учебное пособие
R&C
Москва ¦ Ижевск
2001 УДК 530.1
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
Интересующие Вас книги, выпускаемые нашим издательством, дешевле и быстрее всего приобрести через интернет-магазин. Регистрация в магазине позволит Вам
• приобретать книги по наиболее низким ценам;
• подписаться на регулярную рассылку сообщений о новых книгах;
• самое быстрое приобретение новых книг до поступления их в магазины.
Божокин С. В., Паршин Д. А.
Фракталы и мультифракталы. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 128 с.
Учебное пособие посвящено изложению основных идей фрактальной и мультифрак-тальной геометрии. Примеры различных фрактальных структур можно встретить во многих явлениях природы. Фрактальные образы с успехом используются при описании хаотического поведения нелинейных динамических и диссипативных систем, турбулентного течения жидкости, неоднородного распределения материи во Вселенной, при исследовании трещин и дислокационных скоплений в твердых телах, при изучении электрического пробоя, диффузии и агрегации частиц, роста кристаллов и т. д. Много интересных идей фрактальной геометрии нашли свое применение в экономике при анализе колебаний курса валют, в биологии для объяснения морфологического строения различных биологических объектов, в физике твердого тела для описания перехода Андерсона металл-диэлектрик и других свойств неупорядоченных систем.
Пособие написано по материалам курсов лекций, прочитанных авторами в разное время на физико-механическом факультете Санкт-Петербургского государственного технического университета для студентов 4-5 курсов, обучающихся на специальностях "Биофизика", "Физика металлов" и "Спектроскопия твердого тела".
Пособие будет полезно аспирантам и студентам физических специальностей, интересующихся современными проблемами физики.
ISBN 5-93972-060-9
© Божокин С. В., Паршин Д. А., 2001 © НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001
http:// rcd.ru СОДЕРЖАНИЕ
Введение 5
1 ФРАКТАЛЫ 12
1.1 Регулярные фракталы........................................12
1.1.1 Понятие фрактала....................................12
1.1.2 Длина береговой линии..............................13
1.1.3 Фрактальная размерность множества............15
1.1.4 Канторовское множество............................17
1.1.5 Снежинка Коха ......................................18
1.1.6 Салфетка и ковер Серпинского ....................20
1.1.7 Губка Менгера........................................24
1.1.8 Кривые Пеано........................................25
1.1.9 Вселенная Фурнье....................................30
1.2 Итерации линейных систем ................................32
1.2.1 Системы итерируемых функций ..................32
1.2.2 Метод случайных итераций, или игра в хаос . . 37
1.2.3 Игры с поворотами..................................42
1.2.4 Сжимающие аффинные преобразования..........49
1.2.5 Лист папоротника....................................54
1.3 Нелинейные комплексные отображения ..................63
1.3.1 Квадратичные отображения........................63
1.3.2 Неподвижные точки. Циклы........................64
1.3.3 Множество Жюлиа..................................66
1.3.4 Множество Мандельброта и классификация множеств Жюлиа........................................70
1.3.5 Построение множества Мандельброта ............76
1.3.6 Комплексные Ньютоновы границы................78
2 МУЛЬТИФРАКТАЛЫ 83
2.1 Геометрическое описание мультифракталов..............83
2.1.1 Что такое мультифрактал?..........................83
2.1.2 Обобщенные фрактальные размерности Dq . . . 86
2.1.3 Фрактальная размерность Dq и информационная размерность D\......................................89
2.1.4 Корреляционная размерность D2..................92
3 2.1.5 Свойства функции Dq................................95
2.1.6 Неоднородное канторовское множество..........95
2.1.7 Неоднородный треугольник Серпинского .... 99
2.1.8 Канторовское множество с двумя характерными масштабами длины.................101
2.2 Функция мультифрактального спектра f(a).......105
2.2.1 Спектр фрактальных размерностей........105
2.2.2 Преобразование Лежандра.............109
2.2.3 Свойства функции /(а)...............111
2.2.4 Примеры функций /(ск) ..............114
2.3 Применение теории мультифракталов в физике.....121
2.3.1 Переход Андерсона.................121
Литература 131
4 Введение
Язык науки стремительно меняется в современном мире. История развития физики насчитывает уже не одно столетие. За это время изучено огромное количество разнообразных явлений природы, открыты фундаментальные законы физики, объясняющие различные экспериментальные факты. Каждый раз, сталкиваясь с новыми природными объектами, ученые вводят в язык науки новые категории, термины и понятия. Математики, и особенно физики, при описании всего богатства и удивительной красоты окружающего нас мира подчас мыслят образами, используя эстетические категории в качестве критерия, если не истины, то по крайней мере художественной завершенности. Великий ученый Галилео Галилей, рассуждая о научном познании окружающего мира, в 1623 году писал:
