Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
хп+1
Уп+1
1/2 1/2 1/2 -1/2
ОС J
Vb
+
о
(1.37)
В общем же случае аффинное преобразование на плоскости задается шестью независимыми действительными числами. Два числа е и / описывают обычную трансляцию, а четыре числа а, 6, с, d задают произвольное линейное преобразование при неизменном положении
А 1 D
Рис. 1.41. Действие аффинного преобразования на единичный квадрат ABCD при е = / = 0.
начала координат (0,0). Если при аффинном преобразовании не меняется направление обхода произвольного контура, то его, согласно рис. 1.41, можно представить себе как произведение 3 преобразований
А
a b с d
Ts-T2- T1.
(1.38)
Первое переводит единичный квадрат в произвольный прямоугольник со сторонами г\ и г2 и описывается диагональной матрицей
т і 0 0 T2
(1.39)
Это соответствует простому масштабированию двух координатных осей.
50 Второе преобразование описывает скос этого прямоугольника в горизонтальном направлении на угол а и превращение его в параллелограмм со сторонами 7*1, 7*2/cos ск и углом 7г/2 — а между ними
T2 = I . (1.40)
И наконец, третье преобразование есть простой поворот получившегося параллелограмма на угол ? вокруг начала координат
cos ? — sin /3 \ sin ? cos ? j '
Поскольку определитель произведения матриц равен произведению определителей, то нетрудно видеть, что det^4 = Г1Г2 и положителен. Это является признаком того, что преобразование не меняет направления обхода контура. Действительно, во всех четырех случаях направление обхода параллелограмма ABCD все время происходит по часовой стрелке.
Рис. 1.42. Отражение в вертикальной плоскости меняет направление обхода.
Если же определитель аффинного преобразования отрицателен, то это значит, что преобразование включает в себя еще и операцию отражения в вертикальной (Tv) или в горизонтальной плоскости (Tfl)
Th =
(1.42)
В этом случае, как видно из рис. 1.42, направление обхода контура ABCD меняется на противоположное.
51 Таким образом, в зависимости от знака det Л четыре коэффициента аффинного преобразования a,b,c,d можно всегда выразить через два масштабных фактора 7*1,7*2 и два угла а и ?. Они характеризуют форму, размеры, ориентацию и направление обхода получившегося параллелограмма. Фактически аффинное преобразование описывает переход от прямоугольной декартовой к произвольной косоугольной (правой или левой) системе координат.
Неподвижной точкой аффинного преобразования называется точка, которая остается на месте под воздействием данного преобразования. Она называется притягивающей, если, начав с произвольной точки на плоскости, мы в процессе итераций будем все время к ней приближаться.
Если длина произвольного отрезка при аффинном преобразовании уменьшается, то оно называется сжимающим. Сжимающие аффинные преобразования играют ключевую роль в системах итерируемых функций. Можно показать, что именно в этом случае они имеют своим аттрактором фрактальное множество.
В применении же к одному аффинному преобразованию это означает, что неподвижная точка отображения (1.33) является притягивающей. Действительно, применяя последовательно шаг за шагом это преобразование к произвольному отрезку конечной длины, мы путем последовательных сжатий в конце концов придем к отрезку сколь угодно малой длины, и в пределе бесконечного числа шагов этот отрезок выродится в точку. Эта точка, очевидно, и будет неподвижной точкой (аттрактором) нашего отбражения.
Неподвижные точки каждого отображения, входящего в систему итерируемых функций, очевидно, принадлежат фрактальному множеству. Нетрудно убедиться, что в случае треугольника Серпинского этими точками являются вершины треугольника.
Выясним, в каком случае аффинное преобразование является сжимающим. Пусть (xq, i/o) — притягивающая неподвижная точка отображения (1.33). Иными словами, имеет место равенство
ж0 = ахо + Ьуо + е,
у о = CX0 + dyo + /. (1-43)
52 Непосредственной подстановкой можно убедиться тогда в том, что
хп+1 - x0 = а(хп - xq) + Ь(уп - уо), (144)
уп+1 - уо = с(хп - x0) + d(yn - у0).
Поскольку неподвижная точка (хо,уо) по условию является притягивающей, это означает, что расстояние до нее при каждой итерации сокращается, т. е.
(хп+1 - xo)2 + (уп+1 - у0)2 < (хп - x0)2 + (уп - у0)2. (1.45)
Воспользовавшись (1.44), получаем, что для этого должно выполняться условие
F(и, v) = (au + bv)2 + (си + dv)2 < 1 (1.46)
при любых UHV таких, что и2 + V2 = 1. Здесь под и и v понимаются величины
xn-xq Уп-Уо (л лг?л
и = , , V = , (1.47)
yj(xn - xq)2 + (уп - уо)2 ^J(хп - xq)2 + (уп ~ у0)2
Физический смысл функции F(u,v) заключается в том, что она описывает относительное уменьшение квадрата длины расстояния до неподвижной точки после каждой итерации. Можно показать, что точно так же при каждой итерации меняется и квадрат длины произ-
вольного отрезка. Поэтому yF(u,v) есть не что иное, как коэффициент сжатия аффинного преобразования для отрезка заданной ориентации (характеризуемой единичным вектором с компонентами и и v).
