Фракталы и мультифракталы - Божокин С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Систему итерируемых функций для этой и ей подобных задач легко написать в общем виде, пользуясь заданными алгоритмами игры.
41 Так, для произвольного n-угольника в случае, когда следующая точка ставится на расстоянии в I/т от соответствующей вершины, где I — расстояние до нее начальной точки, am — некоторое (не обязательно целое) число, превышающее единицу, эта система имеет вид
1 Ul — 1
fi(z) = -z-I--Zi, г = 1,2,..., п. (1.23)
m m
Здесь Zi — комплексные координаты вершин многоугольника. Например, для п = 2 (zi = 0,Z2 = 1) и m = 3 получаем СИФ для уже известного канторовского множества исключенных средних третей (см. рис. 1.2).
1.2.3 Игры с поворотами
Как видно во всех рассмотренных выше случаях, каждое линейное преобразование включало в себя сжатие в m раз (одинаковое для обоих осей X и Y) и параллельный перенос на некоторый комплексный вектор. Наши возможности существенно расширятся, если в систему преобразований мы включим еще и повороты. В качестве примера найдем СИФ для кривой Коха.
1/2 + гд/З/6
Рис. 1.32. Генератор для кривой Коха.
Инициатором для кривой Коха является отрезок единичной длины, который на следующем шаге преобразуется в генератор, изображенный на рис. 1.32. Числа показывают координаты соответствующих вершин на комплексной плоскости. Система итерируемых функций, осуществляющих данное преобразование, выглядит следующим
42 образом
ш = Iei7rZ3Z + U(Z) = Iz +
1
З'
(1.24)
Первое преобразование t\, осуществляемое функцией fi(z), есть просто сжатие в 3 раза исходного отрезка (0,1). Второе преобразование ^ включает в себя такое же сжатие, поворот против часовой стрелки вокруг начала координат на угол в 60° и последующий сдвиг по горизонтали вправо на 1/3. Третье преобразование сжимает в три раза исходный отрезок, поворочивает его на угол 60° по часовой стрелке и затем смещает параллельно самому себе на комплексный вектор 1/2 + гл/З/6. Наконец, четвертое преобразование сжимает отрезок в 3 раза и смещает его по горизонтали вправо на 2/3. Заметим, что порядок выполняемых операций здесь важен.
Если теперь этим четырем преобразованиям подвергнуть сам генератор, то получим конструкцию, изображенную на рис. 1.33. Она состоит из 16 отрезков длиной 1/9, и для каждого из них показана последовательность операций, с помощью которых он был получен из исходного единичного отрезка К.
Саму кривую Коха можно получить, повторяя этот процесс до бесконечности. Для этого удобно, как и ранее, воспользоваться методом случайных итераций (игрой в хаос). Каждому из 4 преобразований (1.24) припишем одинаковую вероятность pi = 0.25. После этого, начав с некоторой точки Zq в комплексной плоскости и выбирая случайным образом последовательность преобразований, будем получать все новые и новые точки - = fi(zo), z2 = fj(zi), Z3 = fk(z2) и т.д.
Рис. 1.33. Положения элементов tjti(K).
43 В итоге после примерно 150000 итераций придем к множеству точек, изображенної
Рис. 1.34. Кривая Коха, полученная методом случайных итераций системы функций (1.24).
Рассмотрим еще одну игру с поворотами. Пусть на плоскости у нас имеются всего две точки А и В. Выберем случайным образом начальную точку Zq и одну из этих двух точек. Пусть, например, на первом шаге "выпала" точка А. Мысленно соединяем ее с начальной отрезком прямой линии, длина которого пусть будет равна I, и перемещаемся вдоль этого отрезка в точку, отстоящую от А на расстоянии I/л/2. Поворачиваемся затем вокруг А по часовой стрелке на угол в 45° и ставим в этом месте новую точку, которая теперь будет играть роль начальной. После чего опять случайным образом выбираем одну из точек А или В и повторяем весь процесс сначала. Результат этой игры для 5 • IO4 и IO6 точек показан на рис. 1.35.
Рис. 1.35. Двойной дракон Хартера-Хейтуэя с 5 • IO4 и IO6 точек.
Видно, что точки в процессе итераций плотно заполняют на плоскости некоторую область с весьма причудливыми очертаниями. Что-то подобное мы уже видели! Действительно, это изображение очень
44 похоже на дракон Хартера-Хейтуэя (см. рис. 1.18). Отсутствуют только характерные "осиные талии" — перемычки, соединяющие разные части дракона. Может быть наш дракон немного потолстел?
Оказывается, причина вовсе не в этом, а в том, что здесь изображен не один, а два совершенно одинаковых дракона Хартера-Хейтуэя, один из которых повернут на 180° относительно другого. Они располагаются один над другим так, что выпуклости одного в точности попадают во впадины другого. Их стыковка настолько идеальна, что между ними не существует никаких пробелов. Поэтому эту фигуру и называют двойным драконом (twindragon). Одним из интересных геометрических свойств двойного дракона является то, что его можно покрыть четырьмя уменьшенными копиями его самого.
Систему итерируемых функций, соответствующую двойному дракону, можно легко написать. Пусть координаты точек А и В на комплексной плоскости соответственно равны: z\ = і — 1 и Z2 = i + 1. Тогда
Ш = ^(Z - zje-w + Z1 =-J=Ze-W - 1,
/2 W = -^(z-z2)e-w+ z2 =-^ze-w+ і. (1.25)
