Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Спг К’ 0 = Ст К- °) еХР (4<0‘ (3‘43)
Рассмотрим точки из непрерывного спектра k. Для стационарной плоской волны, идущей из х = оо, можно написать
i|>~a (k, /)ехр (— ikx), л:-> —оо, (3.44)
где а — коэффициент прохождения. Подставляя (3.44) в (3.36), где R дается формулой (3.32), имеем
X
at -f- 4ik3a — Са = (D/a) ^ exp (2ikx) dx, (3.45)
о
где левая часть — функция только от t, а правая часть содержит функцию от х в качестве множителя. Значит, (3.45) выполняется лишь при
D = 0, (3.46)
at — (C — Aik3) а = 0. (3.47)
Последнее равенство содержит неизвестную функцию C(t). Асимптотическое поведение этой плоской волны при *->-оо дается формулой
if ~ exp (— ikx) + b (k, t) exp (ikx), (3.48)
где падающая волна имеет единичную амплитуду и b — коэффициент отражения. Подставляя (3.48) в (3.36), получаем
exp (ikx) [bt — 4ik3b — Cb] + exp (— ikx) [Aik3 — C] = 0,
откуда следует, что
С = Aik3, (3.49)
bt — Ш3Ь — Cb = 0. (3.50)
76
3. Взаимодействие солитонов
Подставляя значение С из (3.49) в (3.47) и (3.50) и интегрируя, получаем
a(k, t) = a(k, 0), (3.51)
b(k, t) — b(k, 0)exp(8ik3t). (3.52)
Уравнения (3.43), (3.51) и (3.52) определяют поведение параметров рассеяния cm, а, b в зависимости от t через их значения при t = 0, которые можно получить путем решения уравнения Шредингера с потенциалом ио(х), заданным начальным условием для уравнения КдФ. Таким образом, решение прямой задачи рассеяния завершено.
3.5. Обратная задача рассеяния
Чтобы определить потенциал u(x,t) из данных рассеяния, следует решить обратную задачу рассеяния. В настоящей задаче этот потенциал является решением уравнения КдФ. Мы будем следовать методу, предложенному И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном [1951] и Кэем и Мозесом [1956], а далее развитому Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой
[1974]. Эти авторы показали, что требуемое решение уравнения КдФ задается в виде
и (х, t) = — 2 (d/dx) К {х, х), (3.53)
где К(х,у) удовлетворяет интегральному уравнению Гель-фанда — Левитана
+ оо
К(х, у)+В(х + у)+ J B(y + z)K(x, z) dz = 0, (3.54)
Я
и ядро В дается выражением 2)
N +оо
в (!) = Yj С1г (Кт’ 0 еХР (— Кп&) + 0/2л) \ Ь 0 еХР dh
m = l -оо
(3.55)
в предположении, что существует N невырожденных собственных значений уравнения Шредингера. В уравнении (3.55) первый член в правой части дает вклад дискретной части спектра, а второй — вклад непрерывной части спектра. С помощью уравнений (3.43), (3.51) и (3.52) можно записать в
]> А также В. А. Марченко [1955].—Прим. перев.
2) Напомним, что ст(хт, t) есть коэффициент при ехр (—кт, t) в асимптотике нормированной собственной функции ’I’m при *-*- + <»,— Прим. перев.
S.5. Обратная задача рассеяния
77
явном виде зависимость от времени уравнения (3.55):
(I) = ? cl 0m-°) еХР - *J) +
m = 1
оо
+ (1/2я) J Ь (k, 0) exp [г (8k3t + k\)] dk. (3.56)
— оо
Следовательно, перед тем как решать интегральное уравнение Гельфанда — Левитана для определения К(х,у), надо определить cm(xm, 0), a(k, 0) и b(k, 0) из решения прямой задачи рассеяния для уравнения Шредингера, взяв начальное значение и0(х) в качестве потенциала. Таким образом, мы пришли к следующей схеме решения уравнения КдФ:
Обратная задача рассеяния
Определить потенциал и (x,t), зная параметры рассеяния, т. е. решить уравнение Гелыранда-ЛеВитана
Прямая задача рассеяния
Решить ураВнение Шредингера с uQ (х) в качестве потенциала
Определить зависимость от Времени параметров рассеяния cm(sem, t), a(k,t) и b(k,t)
Определить параметры рассеяния ст(хт, 0J, а(А, 0) и b (к, 0)
Главное преимущество этого метода заключается в том, что решение нелинейного уравнения КдФ сводится к решению линейного дифференциального уравнения второго порядка (уравнения Шредингера) и линейного интегрального уравнения (т. е. уравнения Гельфанда — Левитана). Более того, переменные t я х в уравнении (3.54) являются только параметрами, так что оно является интегральным уравнением только относительно единственной переменной у. Если потенциал ио(х) безотражательный, то уравнение существенно упрощается, так как второй член в (3.56) пропадает. В следую-
78
3. Взаимодействие солитонов
