Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя (3.100) в (3.99), приравнивая коэффициенты при ехр(—2у) и ехр(—у) нулю и выполняя необходимые интегрирования, получаем два уравнения для определения L\(x) и L2(x):
{1 + (С,/4) ехр (— 4 x)}L{ + (С2/3) ехр (— Зх) 1г + ехр(— 2х) = 0, (Ci/3)exp(— 3x)Lx + {1 + (С2/2) ехр (— 2х)} L2 + ехр(— х) = 0.
Решая эти уравнения, получаем
L\ = — (1 ID) {ехр (— 2х) + {/6С2 ехр (— 4л:)},
L2 = (1/Z?) {— ехр (— х) + lh2Cx ехр (— 5*)},
где
D = 1 + (Ci/4)exp(— 4х) + (С2/2)ехр(— 2х) + (С1С2/72)ехр(— 6х).
Подставляя эти значения L\ и Z,2 в уравнение (3.100) и приравнивая у их, имеем
К(у у) =______р. __ехр (8/ — 2х) + 2 ехр (64? — 4х) + ехр (721 — 6*)
1+3 ехр (81 — 2х) + 3 ехр (641 — 4х) + ехр (721 — вх) ’
откуда получается следующее решение уравнения КдФ, удовлетворяющее начальному условию (3.84):
,, (У А 10 3 + 4 ch (8/ - 2х) + ch (64/ - Ах) ,,
и\х, i)~ iz [ch (36/ _ Зх) + з ch (28/ _ х)]2 .
Чтобы понять природу этого решения, рассмотрим его асимптотическое поведение при л:->±оо. При изучении асимптотического поведения мы преследуем цель определить, содержит ли оно скрытые в нем решения для солитонов, соответствующих собственным значениям щ = 2 и xi = 1. Сначала рассмотрим собственное значение %\ — 2. Для этого положим в (3.102)
l = x — 4%\t = x — \& (3.103)
и перейдем к пределу при /->±оо, сохраняя ? фиксированным. Можно легко показать, что
lim и (х t) = -96__________ехр (4Е) .-
( ’ ’ {1+Зехр(4?)}2
? фикс.
= — 8 sech2 2 (I — h) = — 8 sech2 {2 (х — I6t — ?,)}, (3.104)
84
S. Взаимодействие солитонов
где ехр (—410 = 3 и (3.105)
Игл и (х, t) = — 96 .. .е*р 4^,U2- =
t-ь+со {1 + 3 ехр (— 4?)}2
| фикс.
= — 8 sech2 2 (6 —6{) = — 8 sech2 {2 (* — 16/ — ?()}, (3.106)
где ехр(4|') = 3. (3.107)
Аналогично, если мы положим
1 = х — Ау§ = х — At (3.108)
и перейдем к пределу в (3.102) при t-*-±°o, сохраняя | по-
стоянным, получим
,4m-.u(x' '>-~24 n+Tn7(-W~
I фикс.
= - 2 sech2 (I —12) = - 2 sech2 (х - At - g2), (3.109)
где ехр (2|2) — 3 и (3.110)
lim uix О = — 24___________ехр =
inn и {х, ) {1 + 3exp(2g),i
?фикс.
= — 2 sech2 (| — |') = — 2 sech2 (л: — 4/ — ?'), (3.111)
где ехр(—2|') = 3. (3.112)
Теперь понятно, что уравнения (3.104) и (3.106) с точностью до разницы в фазе представляют собой тот же самый солитон, перемещающийся от х = —оо до х = + оо.
Аналогично уравнения (3.109) и (3.111) также с точностью
до разницы в фазе представляют собой тот же самый соли-
тон, перемещающийся от х — — оо до х = + оо. Таким образом, можно заключить, что каждому собственному значению уравнения Шредингера (3.85) соответствует односолитонное решение. Между тем уравнение (3.102) описывает двухсоли-тонную волну, которая распадается на два солитона при t-*- оо и t-i—оо, и эффект нелинейного взаимодействия между ними, описываемого уравнением КдФ, сводится просто к тому, что их взаимное положение смещается по отношению к положению, которое они заняли бы, если бы взаимодействия не было.
На рис. 3.1 изображено взаимодействие двух отдельных солитонов, движущихся с разными скоростями, равными 16 и 4, и амплитудами, равными 8 и 2, начинающими движение с момента / = — оо; при этом больший солитон следует за меньшим. Сначала больший солитон начинает «проглатывать» меньший, затем при / = 0 они сливаются, образуя единую сдвоенную волну. При дальнейшем росте / появляется
5.bVx
.«nPUtiy
Вза^
аимодействие
солитонов-
66
3. Взаимодействие солитонов
больший солитон, оставляя позади меньший; при t = 0,5 они снова разделяются. Как упоминалось ранее, такое поведение солитонов удивительно, так как, если не принимать во внимание разность фаз, оно подобно линейному взаимодействию (т. е. случаю, описываемому линейным волновым уравнением.— Прим. перев.).
3.6.3. N-солитонное решение
При изучении /V-солитоиных решений уравнения КдФ мы будем в основном следовать методу, описанному в п. 3.6.2, делая необходимые изменения.
Предположим, что потенциал ио(х) является безотража-тельным и уравнение Шредингера имеет N собственных значений xm, m = 1, 2, ..., N. Ядро В(%) из уравнения (3.55)
имеет вид
N
А (6)= S Cm ехр (— кт1), (3.113)
m-1
где Cm = Cm(0)exp(8xmO> (3.114)
и уравнение Гельфанда — Левитана принимает вид
