Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
vt — bvivx + vxxx = 0. (3.22)
Таким образом, если v эволюционирует согласно (3.22), то
и, определяемое уравнением (3.16), удовлетворяет уравне-
3.4. Независимость от времени спектра уравнения Шредингера 73
нию КдФ. Модифицированное уравнение КдФ имеет также бесконечное число полиномиальных законов сохранения вида (3.17), причем первые три из них имеют вид
T = v, X = V3U3 -f- vxx, (3.23)
т = 'I2V2, X = l/4v4 + Wxx - (3.24)
T = V4u4 - 3/2v2x, X = V6u6 + v3vxx - 3v2v\ - 3uxvxxx + 3/2v2xx.
(3.25)
Законы сохранения определяют интегралы модифицированного уравнения КдФ. Уравнение (3.21) устанавливает связь между упоминавшимися выше интегралами уравнения КдФ (3.16) и модифицированного уравнения КдФ (3.22). Эта связь справедлива для всех интегралов, за исключением интеграла
модифицированного уравнения КдФ ^ vdx, который не может
быть получен из интеграла уравнения КдФ при помощи преобразования (3.21). Для данной функции и соотношение (3.21) есть не что иное, как уравнение Риккати, которое может быть превращено в линейное уравнение при помощи хорошо известной подстановки
и = 'фж/'ф. (3.2о)
Уравнение для г|? есть одномерное уравнение Шредингера
¦фжл: — uty = 0 (3.27)
без членов, отвечающих ненулевым уровням энергии. Замечая, что уравнение КдФ инвариантно относительно преобразований
х->х'— 6с/', и->и' + с, (3.28)
в (3.27) могут быть введены и ненулевые уровни энергии.
Это также ведет к доказательству того, что собственные значения уравнения Шредингера
^хх + (Л — и) г|) = 0, (3.29)
где и эволюционирует согласно уравнению КдФ, суть не зависящие от времени функционалы от и, т. е. они являются интегралами уравнения КдФ (3.16). В следующем разделе мы докажем это.
3.4. Независимость от времени спектра уравнения Шредингера, определение параметров рассеяния
Докажем, что собственные значения уравнения Шредингера (3.29) не зависят от t, которое входит пераметрически в потенциал u(x,t), удовлетворяющий зависимому от вре-
74
3. Взаимодействие солитонов
мени уравнению КдФ. Из (3.29) имеем
“ = (3.30)
Подставляя (3.30) в (3.17), получаем1)
W + (ФRx --- $XR)X == 0, (3.31)
где R = ^t + $ххх --- --- Зг^г^/Ф = (3.32а)
= + $ххх --- 3 (и + X) г|>х. (3.326)
Интегрируя (3.31) по х от х = --- оо до + оо и рассматривая
нормированные волновые функции, получаем
Х( = 0 (3.33)
в силу граничных условий на г|з, а именно в силу того, что г|э и ее производные стремятся к нулю при |л:|->оо. Утверждение доказано.
Наиболее важное следствие этого результата заключается в том, что мы можем сразу же для всех моментов времени определить спектр уравнения Шредингера, используя начальное условие и(х, 0) = и0(х), заданное заранее для решения уравнения КдФ.
Для непрерывного спектра собственное значение X может быть принято не зависящим от t, следовательно, (3.33) должно выполняться. Подставляя (3.33) в (3.31), как для дискретного, так и для непрерывного спектров получаем
ч>/г«-/м>«=о, (з.з4)
что в силу (3.29) сводится к
Rxx~h{^ — u)R = 0. (3.35)
Таким образом, R также удовлетворяет уравнению Шредин-
гера, и мы можем взять
X
R — С (() г|> + D (0 ip jj dx/ilf. (3.36)
о
Рассмотрим теперь собственное значение X. Так как г|>->0 при |л:| —>- оо, то для ограниченности R мы должны принять
D = 0, (3.37)
и значит Я = С(/)г|), (3.38)
или из (3.32а) имеем
С (t) г|>2 = + №ххх — бАгМ* — Зг^**. (3.39)
1) Получение выражения (3.31) требует от читателя некоторой иску*
щенности в элементарных преобразованиях.—Прим. перев.
3.4. Независимость от времени спектра уравнения Шредингера 75
Интегрируя это соотношение по л: от — оо до оо и используя граничные условия на if и ее производные, а также усло-
+ 00
вие нормировки (d/dt) ^ i\>2 dx — 0, получаем
— 00
С (/) = 0, (3.40)
так что i|)t + if*** — — З-ф^-ф^^/ф = 0. (3.41)
При х —> -{- оо мы можем написать
if~cm(/)exp(-Kmx), = > 0. (3.42)
Подставляя (3.42) в (3.41), имеем (d/dt) cm = 4н3тст, интегрирование которого дает
