Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
62
2. Некоторые нелинейные уравнения эволюции
физических систем, становится существенным взаимодействие волн на неоднородностях.
Теперь мы применим нашу теорию к уравнению (ПБ.16), опираясь на метод растягивания координат, что было сделано Таниути и Вэем [1968] для однородной среды и модифицировано Асано и Оно для учета умеренной неоднородности [1971]. Стационарное состояние системы, отмеченное индексом 0, дается уравнением
S р
A0U0x+? П(/СЙо4)?/о + Д»5я = 0. (ПБ. 18)
0=1 а=1
Предположим, что U0 и S — медленно меняющиеся функции х и их изменения могут быть адекватно учтены введением переменной г|, определяемой формулой (ПБ.13) с а~ = 1 / (р—1). При изучении изменений б'о и Sc изменением х нам следует оценить порядок е. Будем использовать «.растягиваемые» переменные ? и г|, определенные заново следующими выражениями, учитывающими неоднородность среды:
| = е“($ Лс/А0-/), rj = еа+1х, (ПБ. 19)
где А0 — невырожденное собственное значение матрицы Л0) т. е. Ао является скоростью линейной волны. В растягиваемых координатах уравнение (ПБ.18) сводится к уравнению
А0и0ц+B0S^ = 0, (ПБ. 20)
если пренебречь членом порядка ер. Разложим U в окрестности Uо по степеням е:
U = U0 + е?/, + e2U2 + ..., (ПБ.21а)
а коэффициенты матриц также разложим в ряды по степеням е:
Л = Л0 + еЛ,+ ..., (ПБ. 21б)
B = BQ + eBi + ..., (ПБ. 21в)
На = НаО + еЯа1 + ..., (ПБ.21г)
= /С&0 + е/с?, +---- (ПБ. 21д)
Из (ПБ.19) имеем
д а & & а ( 1 ^ I д \ /тттг ог>\
~dt ==~~Е ~д%' + (ПБ-22>
и, заменяя производные по t производными по ?, получаем dUo/dl = 0, dS/dl = 0. Переходя в (ПБ.16) к координатам rj, подставляя выражения (ПБ.21) в полученное уравне-
Приложение ПБ
63
ние и приравнивая по отдельности члены при одинаковых степенях е, е2, ... нулю, получаем
(Д, —Л/)?/,е = 0, (ПБ. 23)
— U2l + (1 До) AqU2i + (1 До) + A0U 1ц + А\Уоц +
+ ? П (— На) + (1Д) Као) Uin ... | + Bi5t, = О (ПБ. 24)
Р раз
и т. д. Пусть г о — правый собственный вектор матрицы А для X = Х0, тогда
(Ло-/Я0)г0 = 0. (ПБ. 25)
Из (ПБ.23) и (ПБ.25) получаем
?/1Е = ГоФе> (ПБ. 26)
где ф — скалярная функция переменных ? и iq. Отсюда
?/, = г0ф(1, Л) + V(t\), (ПБ.27)
где V — произвольная функция только т). Поскольку произвольность нормы вектора г0 не влияет на конечный результат, V однозначно определяется при условии, что U\ и ф заданы при некотором значении ?, скажем \ = ?0- Тогда величина ф определяется из уравнения (ПБ.24). Умножая (ПБ.24) на левый собственный вектор /0 матрицы Л0 для собственного значения Хо, после некоторых упрощений и использования (ПБ.25) — (ПБ.27) получаем
(1 До) Wo*?! + hloro(V„ + Vo^n + loA\Uor\ + УогоцФ +
+ /о { i П (- HI + (1А0) Klo) } ro(P||_j + = 0.
Р раз (IIВ. 28)
Это уравнение можно далее упростить, если заметить, что А(ии и2, ..., ип) = А («10 + е«ц + ... + и20 + еи21 + ... +
П
+ ипо шп\ + ...) = А (?/0) “Ь 2 (дА/ди.{)0 еип = Л0 + еЛ^
i = 1
Отсюда следует
Ах = (У^Л)о ?/, = (VvA) о (гоФ + I/) =
= {MUo}<f + M)o^ (ПБ. 29)
и аналогичное выражение для В\. Подставляя (ПБ.29) в (ПБ.28) и перегруппировывая члены, получаем уравнение для ф:
+ (аФ + а0 Ф| + Рфц | + \Ф + у' — 0, (ПБ. 30)
р раз
64
2. Некоторые нелинейные уравнения эволюции
где
a=W(M!i, Q,= lo{<?uA)ov}ro ' (ПБ. 31а, б)
^<Аго Vого
g-----------гг,:------------------------------------------------—. (ПБ. 31 в)
Ло^О^О
_____hloroi\ + 1(1 [{(^y^Jo го} и0ц + {(^?/в)о Го} sil] /ттт, о,
у------------------------------7—, , що. oir;
AqIo' О
W„ + 'о [{(УцЛ)„ Г} и о, + {(УиВ)0 К} S„]
Кп10Г 0
(ИБ.31д)
Таким образом, мы свели систему уравнений (ПБ.16) к одному уравнению относительно неизвестной ср. Между прочим заметим, что (3 =/= 0, если Сь определяемое (ПБ.9), не равно нулю. В своих работах Таниути и Вэй [1968] и Асано н Оно [1971] рассмотрели случай С\ — 0.
Из уравнения (ПБ.ЗО) можно удалить ряд членов при помощи преобразования
