Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
[1970]), ленгмюровские волны в плазме (Фултон [1972], Итикава, Имамура и Таниути [1972], Симицу и Итикава
[1972]), а также относится к уравнению Гинзбурга — Ландау в теории сверхпроводимости (де Жеи [1966]).
2.6.6. Уравнение Хироты
Уравнение Хироты
i<ft + /За | ф |2 фд. + рф** + ioq>xxx + б | ф |2 ф = 0,
где ар = а б. Это уравнение сводится к нелинейному уравнению Шредингера при а = а = 0 и модифицированному уравнению КдФ Фt + aq>2q>x + Ц>ххх = 0 при р = б = 0, а при а — б — 0 оно сводится к линейному уравнению гф< + рф** + + ioqixxx = 0. Хирота [1973] получил iV-солитонное решение этого уравнения.
2.6. Некоторые другие уравнения эволюции
49
2.6.7. Уравнение Борна — Инфельда
Это уравнение записывается в виде
0 - ф?) + 2ФЛФ*г - 0 + ф*) фtt = °-
Борн и Инфельд получили это уравнение в трехмерных пространственных координатах в качестве нелинейной модификации уравнений Максвелла, что позволяет представить электрон естественным образом в виде сингулярности (Борн и Инфельд [1934, 1935], Фенберг [1935], Ольсен [1972], Портер [1972]).
2.6.8. Уравнение самоиндуцированной прозрачности
Макколл и Хан [1965] обнаружили путем вычислений, что ультракороткие импульсы света могут проходить сквозь резонансную двухуровневую оптическую среду, как сквозь прозрачную среду. Этот эффект был широко изучен (Макколл и Хан [1967, 1969]) и имеет следующее физическое объяснение. Временной интервал ультракороткого импульса (10~9—10—19 с) оказывается меньше продолжительности фазовой памяти атомных уровней оптической среды. Поэтому наведенная поляризация может удерживать определенное соотношение фаз с падающим импульсом. В результате на фронте импульса возникает обращение атомной населенности, а на спаде импульса за счет индуцированной эмиссии происходит переход в основное состояние. Таким образом, энергия, передаваемая квантовой системе передним фронтом импульса, отбирается от нее в конце импульса обратно. В результате при выполнении соответствующих условий, относящихся к степени когерентности и интенсивности, возникает импульс неизменного профиля, распространяющийся без затухания со скоростью, которая может быть на два — три порядка меньше фазовой скорости света в данной среде.
Рассмотрим квантовый двухуровневый ансамбль атомов. Световая волна поляризует атомы, которые, действуя совместно, превращаются в источник электромагнитного поля. Пусть атомы распределены однородно с плотностью п0, а напряженность электрического поля <g (х, t) = Е (х, t) cos (k0x—
— coot), где предполагается, что огибающая E(x,t) является медленно меняющейся функцией по сравнению с несущей cos(&0* — сооО- Тогда уравнения Максвелла сведутся к виду Е/ -f- Ех = <Р}. Здесь ради удобства скорость света и другие физические параметры положены равными единице. С общим случаем читатель может познакомиться в прекрасной обзорной статье Ламба [1971].
50
2. Некоторые нелинейные уравнения эволюции
Рассмотрим двухуровневый атом с разностью уровней энергии м = м0— А<о и обозначим поляризацию в (х, t), обусловленную атомом, через р(Дм, х, i). Ее можно приближенно разложить на компоненты, находящиеся в фазе и со сдвигом на 90° по отношению к несущей электромагнитной волне:
р (Дм, x,t) — P (Дш, х, t) sin (k0x — м0/) -f-
+ Q (Д<о, x, t) cos (k0x — Ш0/).
Теперь уравнение Шредингера для рассматриваемого атома сводится к уравнениям Блоха для огибающих функций Р и Q:
Pt = ЕМ — Дм<2, Qt = ДмР, Mt = — ЕР,
где Л4(Дм, х, t)—инверсия населенности в одиночном атоме. Мы можем теперь определить величину
оо
(Р) = п0 ^ g (Дм) Р (Дм, х, t) d Дм,
— оо
где по — концентрация атомов, а функция ?(Дм) описывает неопределенность энергетических уровней.
Как показали эксперименты и численные расчеты, решение приведенной выше системы уравнений распадается на последовательность отдельных когерентных оптических импульсов.
ЛИТЕРАТУРА Уравнение Бюргерса
Бейтмен (Bateman IT.)
[1915] Some recent researches on the motion of fluids. — Mon. Weath. Rev., v. 43, p. 163—170.
Бентон, Плацман (Benton E, R„ Platzman G. W.)
[1972] A table of solutions of the one-dimensional Burgers equation.— Quart. Appl. Math., v. 30, p. 195—212.
Бюргере (Burgers J. M.)
[1939] Mathematical examples illustrating relations occuring in the theory of turbulent fluid motion. — Trans. Roy. Neth. Acad. Sci., v. 17, p. 1—53.
[1940] Application of a model system to illustrate some points of the statistical theory of free turbulence. — Proc. Roy. Neth. Acad. Sci., v. 43, p. 2—12.
Коул (Cole J. D.)
