Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
В настоящей главе мы интересуемся стационарными решениями и поэтому будем искать стационарное решение уравнения Бюргерса в виде
и(х, t) = u(l), l = x — ct. (2.24)
Подставляя (2.24) в 11(b), получаем обыкновенное диффе-
ренциальное уравнение второго порядка
— си^ + ии^ — |л«^ = 0, (2.25)
интегрирование которого дает
— си + Ч2и2 — = А, (2.26)
где А—постоянная интегрирования. Запишем теперь (2.26) в виде
=(1/2ц) (и—и~) (« — «+), (2.27)
где ut> — c — *Jc2-\-2A, uZ — с + -\J с2 + 2 А (2.28)
— корни уравнения
и2 — 2си — 2Л=0. (2.29)
Смысл нижнего индекса оо и верхних индексов -f- и ¦— у и будет ясен, когда мы рассмотрим поведение решения при ?-»-±оо. Чтобы обеспечить вещественность корней предположим, что
с2 + 2А > 0, и тогда uZ > ut>- (2.30)
Интегрируя (2.27), получаем
и (х, t) — с — л]с2 -\-2А th (д/с2 + 2Л?/2ц) = (2.31)
= '/2 ((и- + и+) - (и- - «+) X
X th [{(и; - «+)/4ц} {х - У2 (и~ + и+) *}]), (2.32)
где постоянная интегрирования выбрана из условия |-> + оо, ы-*и+, из которого следует
оо, и-+и-. (2.33)
2.3. Диссипирующие волны
39
Таким образом, решение (2.31) соединяет два асимптотических состояния и~ при ? = — оо и ы+ при | = + оо с по-
мощью непрерывно изменяющихся состояний. Из (2.28) имеем выражение
с = 7г (и~ + «+), (2.34)
которое для данной задачи, очевидно, является соотношением Рэнкина — Гюгонио. Следовательно, на языке гидродинамики решение (2.31) описывает структуру ударной волны. Для сравнения мы приводим ниже стационарное решение линеаризованного уравнения Бюргерса:
Щ — №хх = 0, (2.35)
и(х, t) = u(l) = A + В ехр (— (с/ц) ?), l = x — ct, с> 0. (2.36) При | -» оо и-* А, но при ?-» — оо и —> оо. (2.37)
Следовательно, единственным ограниченным стационарным решением уравнения (2.35) является постоянное состояние. Таким образом, линеаризованное уравнение Бюргерса не допускает решения, соединяющего два однородных состояния множеством непрерывно изменяющихся состояний. Отсюда мы делаем вывод, что
Нелинейность уравнения Бюргерса позволяет гладко соединить два асимптотически однородных состояния с помощью непрерывно изменяющихся состояний.
Ранее отмечалось, что при наличии области отрицательного наклона у профиля импульса решение уравнения II (а) (в котором отсутствует член ихх) имеет участки с весьма крутым наклоном, даже если начальный профиль не имел таких участков. Напротив, нетрудно показать, что наличие члена со второй производной не только предотвращает образование очень больших градиентов, ио на самом деле сглаживает любой начальный разрыв (Лайтхилл [1956, разд. 7.3]).
Отсюда мы делаем вывод, что член второго порядка в уравнении Бюргерса не допускает появления крутых наклонов профиля волны. Итак, член второго порядка стремится нейтрализовать влияние нелинейности в области сжатия и сгладить разрывы.
Обозначим через ?~ значение |, при котором и (?_) = uZ>—
— a(u^—ы?), и через ?+ значение при котором и(?+)== >=ui + a(«c^ — и?), где а — малая положительная величина. Тогда, из (2.31) имеем
1+— I = [4(х/(но<. — «?)] {In (1 — a) — In a}. (2.38)
40
2. Некоторые нелинейные уравнения эволюции
Из уравнения (2.38) роль параметра ц очевидна. Когда ц->0, то ?+->?-, так что при переходе от uZ к функция ы(6) терпит разрыв. Таким образом, параметр ц стремится размыть разрыв в профиле и, который стремится образовать нелинейность. Имея в виду это свойство, мы говорим, что волна является диссипирующей и ц есть мера диссипации. Действительно, на гидродинамическом языке соотношение
(2.38) есть мера толщины ударной волны.
2.4. Диспергирующие волны
Чтобы выяснить роль члена, содержащего третью производную по х в уравнении II (с), по отношению к нелинейному члену, сопоставим уравнения II(с) и 1(c). Ради простоты ограничимся случаем К > 0. Однако заметим, что в то время как нелинейное уравнение
ut + иих + Киххх = 0, К <. 0,
с помощью преобразования ы-*—и, х^>—х, t^>-t всегда может быть преобразовано к уравнению
ut + иих + (— К) иххх = 0, — К > 0,
мы не можем одновременно преобразовывать линейное уравнение к уравнению с К > 0.
2.4.1. Решение I (с)
Применяя метод Фурье к линейному уравнению 1(c), получаем следующее дисперсионное соотношение: со = ck — Kk3. Таким образом, со является действительной функцией k, и мы можем обычным способом определить фазовую и групповую скорости:
