Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
Vр = <а/k = с — Kk2 (Vр — функция k),
Vg = со' (k) = с — 3Kk2 (I/g —функция k). Поскольку VP ф Vg, волна будет диспергирующей.
2.4.2. Решение уравнения КдФ
Рассмотрим сначала линеаризованное уравнение КдФ ut + Киххх = 0, для которого дисперсионное соотношение имеет вид со = —Kk3. Поскольку со"(k)=/= 0, волна будет диспергирующей. Отыщем теперь стационарное решение уравнения КдФ, задав его в виде
u(x,t) = u(l), \ = x — ct. (2.39)
2.4. Диспергирующие волны
41
Подставляя (2.39) в 11(c), получим
— си^ “I- === 0. (2.40)
Интегрируя его, придем к уравнению
— си -\- '/г^2 Ч~ /С^е^ = А. (2.41)
Умножая последнее уравнение на и\ и интегрируя, получаем
— Vгсы- -(- Vб^3 ~Ь Ч-гКи^ = Аи -f- В, или 3/(и| = — + Зсм2 + 6Аи + 6В з= / (и). (2.42)
Перепишем его в виде
'/»«! +(1/6/С) {-/(и)} = 0, (2.43)
тогда, интерпретируя и и ? как пространственную и временную координаты, мы сможем рассматривать уравнение (2.43) как уравнение сохранения энергии движения частицы единичной массы в поле потенциала (1/6/С)/(«) или же как уравнение ангармонического осциллятора. При определенных условиях уравнение (2.43) может описывать периодическое движение, совершающееся между двумя смежными вещественными нулями функции f(u), где f(u)7^ 0. Такая интерпретация дает нам эффективный подход в изучении уравнения (2.42). Функция }(и)—кубический полином и имеет три корня. Сначала Заметим, что если и = с является его корнем, то и = с будет решением уравнения (2.43), описывающим состояние покоя. В дальнейшем мы будем изучать решения, описывающие непостоянные ограниченные движения. Очевидно, мы должны рассмотреть два случая: (1) когда только один корень вещественный и (2) когда все три корня вещественны.
Случай (1). Рисунок 2.5 дает ориентировочную картину изменения f(u) в зависимости от и, когда имеется только один вещественный корень при и = сь Из рис. 2.5 ясно, что f(u) < 0, когда и > сь и f(u) ^ 0, когда и ^ сь поэтому для вещественных решений мы должны рассматривать интервал и ^ С\. В этой области имеем
du/di — ± ((1/3/С) / (н)}1/2-
Заметим в первую очередь, что если f'(ci) — 0, то состояние и = с 1 не может быть достигнуто на конечном расстоянии. Поэтому мы положим f(C])=^= 0. Теперь решение рассматриваемого уравнения существует и достигает значения и = с\ при ? = |о- Так как f(u) остается положительным при и < С\ и стремится к оо при и-*-------оо, то решение оказывается не-
ограниченным.
42
2. Некоторые нелинейные уравнения эволюции
Случай (2). Теперь рассмотрим случай, когда все три корня а, р, у функции f(u) вещественны. Не теряя общности, мы можем задать такой порядок величин: а ^ (3 ^ у. Рисунок 2.6 дает приблизительную картину изменения функции /(и), когда все корни различны (кривая А), когда (5 = у (кривая В) и когда р = а (кривая С). Кривая В касается оси и
Рис. 2.5. Приблизительный график функции f(u), когда она имеет только один вещественный корень.
в точке у, а кривая С касается оси и в точке а. Далее для определения значений параметров с, А и В в выражении для f{u) используются следующие выражения:
с = 7з (а + Р + Y)> А = — 7б (ф + Ру + У а), В = 7'баРУ- (2.44)
Выражая f(u) через корни а, р и у, получаем
/ (и) = {и \) {и р) (а и). (2.45)
Поскольку решение должно быть вещественным и ограниченным, мы должны ограничить и между р и а для кривой А и
Рис. 2.6. Приблизительный график функции f(u), когда все три корня вещественны: А) корни различны (кноидальная волна); В) (3 = у (уединенная волна); С) р = а (постоянное решение и-*- а).
между р = у и а для кривой В. Для кривой С допустимы значения и < 7, но в этом случае, как и в случае (1), ограниченное решение невозможно. Однако обсуждение случая, когда р->-а, оказывается особенно интересным.
2.4. Диспергирующие волны
43
Начнем с вывода достаточных условий, при которых f(u) имеет три вещественных корня. Легко проверить, что
с2 + 2А = {(сх - р)2 + (р - -у)2 + (Y — ct)2}/18,
поэтому если а, р и у вещественны, то
с2 + 2Л>0. (2.46)
Теперь заметим, что f(u) достигает положительного максимума между р и а и отрицательного минимума между у и р. Предельные значения f(u) достигаются при и — с ± д/с2 + 2А • Поэтому
f {с + д/с2 + 2А) > 0, f {с - д/с2 + 2Л} < 0. (2.47, 2.48)
Соотношения (2.46) — (2.48) дают требуемый ряд условий, которые обеспечивают вещественность нулей функции f(u).
Рассмотрим теперь последовательно все три указанных выше случая более подробно.
Случай А: а, р, у различны. Из уравнений (2.42) и (2.45) имеем
_____________—___________==_____Ё1___ (2 49)
[(и _ Y) (к — Р) (а — к)]1/2 (3 К)'12'
Полагая а — и = р2, приведем написанное выше уравнение к виду
