Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
и (*,()) = < ' F ' (2.15)
(. 0 при | jc | > а, ’
где f(x)—непрерывно дифференцируемая функция с положительным и отрицательным наклонами.
Решение уравнения II(а) при условии (2.15) дается формулами
Ш> l = x — ut при |?|<а,
36
2. Некоторые нелинейные уравнения эволюции
где ? — пространственная координата, движущаяся со скоростью и (которая сама является функцией от х и t). Роль g подобна роли лагранжевой координаты в лагранжевом описании движения сплошной среды. При t — О имеем х = Беря частную производную (2.16) по х, получаем ux(x,t) = = /^ (1 — uxt), так что
uAx,t) = M\+ht). (2.17)
Это соотношение выражает наклон профиля и в точке {х, t) через наклон начального профиля при х — ?; здесь х—координата в момент времени t точки, которая в начальный момент имела координату |. Если < 0, то их(х, t) бесконечна при t = —l//g. Поэтому если начальный профиль имеет отрицательный наклон в некоторой точке то при t > Т — = (—1 //5) min решение перестает быть однозначным в окрестности точки х0 = ?0 + 77(Ео)I гДе ёо — точка, в которой (—1//5) достигает минимального значения. Попытаемся найти изменения наклона профиля импульса на характеристике | = |0; когда t проходит значение Т. Пусть X0(t) — положение характеристики элементарной волны в произвольный момент t. Мы хотим найти ux(X(t), t) для значений
t = Т + е = (— l//g)rain + е, где | е | мало; тогда
их (Х0 (t), Т + е) = (/!/(1 + /505_5„ ,„г+е =
h (Ер) __ 1
1 + /б (Бо) [— (Бо) + *»] е'
Итак, имеем
их(Х0(Т-0), Т — 0) = — оо и их(Х0(Т + 0), 7' + 0) = + оо, как указано выше.
2.2.3. Роль нелинейности
Таким образом, мы заключаем, что в случае уравнений типа 1(a) и 11(a) из разд. 2.1:
Линейные волны распространяются без изменения профиля. Роль нелинейности заключается в том, что она приводит к деформации волнового профиля, возрастающей с ростом t. По истечении некоторого времени (t > Т) физический смысл имеет решение, содержащее движущиеся разрывы. Мы назвали такое решение слабым решением.
Заметим, что, применяя метод Фурье к линейному уравнению 1(a), мы получим дисперсионное соотношение со = ck, так что и фазовая, и групповая скорости равны с. В случае
2.3. Диссипирующие волны
37
нелинейного уравнения II (а) мы не можем применять метод Фурье и поэтому не можем говорить о волновом числе, частоте, скорости волны, групповой скорости до тех пор, пока не укажем метод их определения. К этому вопросу мы вернемся в гл. 5.
2.3. Диссипирующие волны
Теперь мы исследуем уравнения 1(b) и 11(b) с точки зрения влияния второй производной ихх¦ Это сравнительное изучение укажет также на влияние диссипации, производимое этим членом на деформацию волнового профиля, вызванную нелинейностью. В гидродинамике нелинейный член иих представляет собой конвективный член, член со второй производной—-силу вязкости. Таким образом, наше исследование вскроет конкуренцию между нелинейной конвекцией, увеличивающей крутизну профиля (в области «поджатия» импульса), и вязкой диссипацией, за счет которой профиль расплывается.
2.3.1. Решение уравнения 1(b)
Полагая в уравнении 1(b)
и (х, t) = a exp {i (kx — ш/)}, (2.18)
получаем дисперсионное соотношение
со — ck — i\ik2. (2.19)
Следовательно, согласно нашему определению, введенному в гл. 1, это уравнение описывает диссипирующую волну. Таким образом, волна, описываемая уравнением П(Ь), является также диссипирующей в соответствии с соглашением, принятым ранее в этой главе. Из (2.19) мы имеем
Re со = ей, Im со = — \ik2 < 0, (2.20)
так как мы выбрали ц > 0.
Учитывая (2.19), волновой профиль (2.18) можно представить выражением
и(х, t) = {a exp (— t/t0)} exp {ik (х — с/)}, (2.21)
которое описывает гармоническую волну с волновым числом k, скоростью с и амплитудой, экспоненциально затухающей со временем. Характерное время затухания равно
4 = \K\xk2). (2.22)
При фиксированном ц величина t0 убывает с ростом k. Поэтому короткие волны затухают быстрее, чем длинные. Таким образом, по истечении достаточно большого времени (t t0) «выживут» только длинноволновые возмущения. Аналогично
38
2. Некоторые нелинейные уравнения эволюции
при фиксированном k величина ta убывает с ростом |я; следовательно, волны заданной длины затухают быстрее в среде с большим значением |я. В этом смысле |я можно рассматривать как меру диссипации. Из уравнения (2.21) можно определить фазовую скорость
Vp = с = Re (со/k). (2.23)
2.3.2. Решение уравнения 11(b)
