Нелинейные волны в одномерных диспергирующих системах - Бхатнагар П.
Скачать (прямая ссылка):
V,i
При t в интервале PC Г между X\ и x2 укладывается несколько длин волн, и мы можем считать ki и со (ft,) приближенно постоянными. Осредняя гармонический член, стоящий под знаком интеграла (1.41), получаем выражение
v,t
Е~ ^ яА2 (kj) dx/[t I со" (ki) I ], (1-42)
Vit
которое после подстановки х — Vt принимает вид
v,t
Е~ J яА2 (ki) dV/[ I со" (k{) I ]. (1.43)
v,t
Но из (1.306) и (1.30в) имеем
b, = kt(V), I/ = a>'(k{), (1.44)
тогда A(ki) и со"(ki) можем рассматривать как функции V, так что интегрирование в принципе может быть проведено и его результат будет зависеть только от V\ и У2 безотносительно к л: и t. Отсюда мы заключаем, что энергия между
двумя точками в волне, возникшей в начале координат и
распространяющейся с постоянными скоростями, не зависит
от t, если эти скорости являются локальными групповыми скоростями. Из выражений (1.40) следует
х2 ¦*1==[^2(^2) — ^1(^1)]^» (1-45)
1.6. Распространение энергии в диспергирующей волне
21
Рис. 1.4. Переход волны, двигающейся с фазовой скоростью, к движению с групповой скоростью.
т. е. Х2 — *i растет линейно с i. Вывод асимптотического выражения (1.316) показывает, что данное волновое число определяет пространственную осцилляцию в точках, определяемых выражением (1.306). Это означает, что если наблюдатель ДВИЖеТСЯ ВДОЛЬ ВОЛНЫ С ГруППОВОЙ СКОРОСТЬЮ d)'(k), то он будет всегда фиксировать волну с волновым числом k. В следующем разделе мы дадим другое доказательство этого утверждения.
Отметим следующий важный факт. Если мы хотим следовать за волной с заданным волновым числом, то должны двигаться со скоростью Vg(k). Таким образом, через время t (3>Р) эта волна будет находиться в точке
Xi = Vg(k)t,
(1.46)
¦2 2
1. Линейные волны
а не в точке
x2 = VD(k)t. (1.47)
В точке х2 будет находиться другая волна с некоторым другим волновым числом k', таким, что V g(k') — V p(k). Более того, волна первоначально распространяется со скоростью Vp = a/k и по истечении достаточно длительного времени t (3>Р) начинает распространяться с групповой скоростью Vg = со'(/г). Изложенные выше факты иллюстрируются на рис. 1.3 и 1.4.
1.7. Важное кинематическое соотношение
Рассмотрим отрезок единичной длины в бегущей периодической волне, в которой полностью развились явления дисперсии, а волновое число и частота изменяются во времени и пространстве. Из определения волнового числа ясно, что в момент t на этом отрезке уложится k волн, т. е. k волновых гребней, так что kt определяет скорость изменения числа гребней в единицу времени на единице длины. Согласно определению частоты волны, число волн, т. е. число гребней, проходящих через фиксированную точку за единицу времени, равно о, так что (Их определяет в чистом виде поток числа волн, проходящих через оба конца отрезка единичной длины. Если мы предположим, что волновые гребни не создаются и не уничтожаются, то придем к следующему кинематическому соотношению:
kt + <>>x(k) = 0, или dk/dt + со' (k) dk/dx — 0, (1.48)
весьма важному в свете дисперсионного соотношения. Таким образом, вдоль характеристики dx/dt = ш' (k) величина k = = const. Поэтому наблюдатель, движущийся со скоростью
dx/dt = ю' (k) = Ve (k), (1.49)
•будет всегда сопровождать волну с волновым числом k.
Поскольку в нашем рассмотрении скорости распространения энергии в разд. 1.6 предполагалось, что волны распространяются с локальной групповой скоростью, волновое число (длина волны) вдоль каждой волны сохраняется. Следовательно, число волн между х\ и Х2 также возрастает пропорционально t.
Заметим, что закон сохранения (1.48) для k тождественно выполняется для однородных волн, поскольку k и и не зависят от х и t. Поэтому данное соотношение становится важным в случае, когда волны испытывают заметную дисперсию. Мы будем часто ссылаться на (1.48) при рассмотрении труп* ловой скорости нелинейной волны.
Приложение I
23
ЛИТЕРАТУРА
Деннери, Крживицкий (Dennery P., Krzywicki А.)
[1967] Methods of mathematical physics. — New York: Harper and Row. Джеффрис Г., Джеффрис Б. (Jeffreys Н., Jeffreys В. S.)
[1966] Methods of mathematical physics, 3rd ed. — Cambridge Univ. Press, 1966, § 17.04, 17.05. [Перевод: Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. — М.: Мир, вып. 1, 1969;
вып. 2—3. 1970.1 Лайтхилл (Lighthill М. J.)
