Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
о
где Ь = \е\Н/т2.
Вернемся к общему случаю, когда наряду с магнитным имеется также и параллельное ему электрическое поле Е, удовлетворяющее условию (129,3).
Для вычисления L' в этом случае нет, однако, необходимости решать заново задачу об определении уровней энергии (ер_)) электрона в поле. Достаточно заметить, что если искать волновую функцию — решение уравнения второго порядка (32,7) —в виде произведения
'Ф = 'Фе (2)е'Р**х па (у)
(где %па (у) — волновая функция в магнитном поле при Е = 0 и рг = 0), то масса т и поле Я войдут в уравнение для (г) лишь в комбинации
т2 +1 е | Я (2ti + 1 + а).
§129] ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 631
Если теперь учесть, что суммирование по рх (от которого уровни энергии не зависят) по-прежнему дает множитель \е\Н/2л, то из соображений размерности величину
Ф(Я, Е) = -щ^~
можно записать в виде
m2-f | е | Н (2п-f 1 -fg)
(Ъ/и р\________ 1 е 1 Н V'' v________I е 1 Н_______
8л2 2-i 2-i /п2+|е| Я(2п+1 + а)
п=Оа=±1
Р ! 1 + 2Ьп '
8л2
-Jf(?)+2E , + L' ' (129,14)
П= 1
(каждый член этой суммы есть — dh^/idm2)2, просуммированное по всем квантовым числам, кроме п). Здесь F— неизвестная пока функция, которую мы найдем из соображений релятивистской инвариантности.
Действительно, Ф должно быть функцией скаляров Я2— Е2 и (?Я)2 = (ЕН)2:
Ф (Я, Е)~ f(H2 — Е2, (ЕН)2).
Поэтому
Ф(0, ?) = /(— 0)=Ф(г?, 0).
Но функция Ф(1‘?', 0) получается из (129,11) заменой Н—+1Е, после переобозначения переменной интегрирования найдем
оо
Ф (iE, 0) = -g^- jV^ctg ndr], (129,15)
о
Сравнив это выражение с пределом Ф (Я —0, Е), вычисленным
из (129,14), мы сможем найти функцию F.
Переход к пределу Я-+0 в (129,14) производится путем за-
мены суммирования по п интегрированием по dn = dx/2b:
ф(0, <129-16>
0 1/а
Приравняв выражения (129,15) и (129,16) и продифференцировав это равенство по l/a=sz, получим
632
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
После этого суммирование в (129,14) снова сводится к суммированию геометрической прогрессии, и дальнейшие вычисления аналогичны произведенным выше: выражаем Ф через т2, Е и Н, интегрируем дважды по /и'2, вычитаем значение при Е = Н~ О и определяем постоянные интегрирования, как при выводе (129,13). Окончательный результат1):
После того как формула (129,17) выражена через инварианты ? и она тем самым становится применимой в произвольной системе отсчета (а не только в той, где Е || Н),
Сразу же отметим несколько условный характер записи формулы (129,17). Она пригодна лишь при соблюдении условия малости электрического поля: a<<S 1 (129,3) (не учтенного в (129,17) в явном виде). Это проявляется в том, что подынтегральное выражение в (129,17) имеет полюсы при г| = яя/а (п = 1, 2, ...), так что в написанном виде интеграл, строго говоря, не имеет смысла. Поэтому (129,17) может, по существу, служить лишь для получения членов асимптотического (см. ниже) ряда по степеням а путем формального разложения ctga.
Математически интегралу (129,17) можно придать смысл, обходя полюсы в плоскости комплексного 1]. При этом у L', а тем самым и у плотности энергии W' появляется мнимая часть. Комплексность энергии, как обычно, означает квазистационарность состояния2). В данном случае стационарность нарушается рож-
1) Этот результат был впервые получен Гейзенбергом и Эйлером (W. Heisenberg, Н. Euler, 1935). В изложенных вычислениях использованы также идеи вывода, предложенного Вейскопфом (V. Weisskopf, 1936).
2) Направление обхода в интеграле должно быть выбрано так, чтобы было Im W < 0. Этому требованию отвечает обычное правило замены массы т2—>¦ —*¦ т2 —10 (т. е. в данном случае а—<-a-fi0).
а
Параметры а и b можно записать в инвариантном виде
(129,18)
Ъ = - JiL- {(Г + Я)*/» -f (IГ -
у 2 т1
(F = у(Н2 — Е2), $ = ЕН, F±tS = y(H±iE)*. (129,19)
§ 129] ПОПРАВКИ К .УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 633
денпем пар, а величина —21m W' есть вероятность w рождения пары в единице обте'ма в единицу времени; так как малые добавки к W и L отличаются только знаком, то вероятность w, выраженная через Е и Н, равна просто
да = 21m L'. (129,20)
Очевидно, что она пропорциональна е~п!а (см. ниже (129,22)). Именно благодаря экспоненциальной малости Im W' приа<<с;1 имеет смысл асимптотический ряд по степеням а с сохранением в нем любого конечного числа членов.
Рассмотрим предельные случаи формулы (129,17). В слабых полях (о< 1, Ь<§1) первые члены разложения:
V -g- + =lgT|L-r(4|F! + 7!S4. (129,21)
В частности, при Ь = 0 относительная поправка
U _ а2 Z-o а 45л •
Мнимая часть L' при a<gcl получается из интеграла (129,17) взятием полувычета в ближайшем к нулю полюсе котангенса, т. е. при т]л = я — Ю. Согласно (129,20) она дает вероятность рождения пары слабым электрическим полем:
ш= -Д5-а2е~л''а
4л3
или, в обычных единицах,
-тМ&ЖтМ-яп-)- (129'22>
В сильном магнитном поле (а = 0, &^>1) исходим из формулы
(129,13), записанной (после замены Ьт) —>¦ г)) в виде
jj т1Ь2 Г е~^ь
8я2
о
il cth г)— 1
dr\.
При Ь>1 в этом интеграле существенна область 1 <^r]<gcb. В ней 1, и можно пренебречь вторым членом в скобках, а интеграл обрезать (с логарифмической точностью) на пределах т) да 1 и т] да Ь. Тогда
