Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
С = 0, f(s) = Alt(s, 0), g(t) = Au(0, t)
616
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
(Гл. XII
(где Ац — мнимая часть М (s, t), появляющаяся при увеличении I при заданном малом s, подобно тему как Als — мнимая часть, появляющаяся при увеличении s при заданном малом t). Первое из этих равенств очевидно: С~М(0, 0) —0. Второе (и аналогичным образом третье) следует из сравнения равенства
V ' Я J (<: — SJ S'
с однократным дисперсионным соотношением (126,5), написанным «с вычитанием», отвечающим условию (120,20):
M{s, = (126,21)
Таким образом, окончательное двойное дисперсионное соотношение «с вычитанием»:
+Н(|ад
Если значения s, t сами лежат в области интегрирования, то интегралы (126,21—22), как всегда, надо понимать как предел при
s —s + iO, t-*l + i0. (120,23)
§ 127. Рассеяние фотона на фотоне
Рассеяние света на свете (в вакууме) является специфически квантовоэлектродинамическим процессом; в классической электродинамике оно отсутствует из-за линейности уравнений Максвелла *).
В квантовой электродинамике рассеяние фотона на фотоне описывается как результат рождения двумя начальными фотонами виртуальной электрон-позитронпой пары и последующей аннигиляции этой пары в конечные кванты. Амплитуда этого процесса
(в первом неисчезающем приближении) изображается шестью
«квадратными» диаграммами со всеми возможными относительными расположениями их четырех концов. Сюда относятся
*) В предельном случае малых частот этот процесс был впервые рассмотрен Эйлером (Н. Euler, 1936), а в ультрарелятивистском случае—А. И. Ахие-зером (1937). Полное решение задачи дано Карплусом и Нейманом (R. Karp-lus, М. Neumann, 1951).
S 127]
РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ФОТОНЕ
617
диаграммы
(127,1)
и еще три диаграммы, отличающиеся от этих лишь изменением направления обхода внутренней электронной петли. Вклад этйх последних совпадает с вкладом диаграмм (127,1), и потому полная амплитуда рассеяния
M/i = 2(M^ + M<6'> +М<в>), (127,2)
где Mia), Л1(б), М^> — вклады диаграмм а, б, в.
Согласно (64,19) сечение рассеяния
do'
64л2 1 /' 1 (2to)2
(127,3)
где do' —элемент телесных углов для направления к' в системе центра инерции. Угол рассеяния в этой системе обозначим 9.
Инвариантные амплитуды
Выделив поляризационные множители четырех фотонов, представим в виде
М fl = ef'MA.uV,o; (127,4)
4-тензор Mkuvu (его называют тензором рассеяния фотона на фотоне)—функция 4-импульсов всех фотонов. Если написать аргументы функций со знаками, отвечающими одинаковым направлениям внешних концов диаграммы, то в силу симметрии совокупности диаграмм (127,1) очевидно, что тензор
^2» к'л ’ )
будет симметричен по отношению к любым перестановкам четырех аргументов вместе с одновременной такой же перестановкой его четырех индексов. В силу калибровочной инвариантности амплитуда (127,4) не должна меняться при замене е —> е + const k. Другими словами, должно быть
ро=...=0. (127,5)
Как легко сообразить, отсюда следует, в частности, Что разложение тензора рассеяния по степеням 4-импульсов klt кг, ...
618
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
1Гл. XII
должно начинаться с членов, содержащих четверные произведения их компонент. Тем самым во всяком случае
Mm*vp(0, 0, 0, 0) = 0. (127,6)
Для конкретного выделения инвариантных амплитуд целесообразно, однако, с самого начала выбрать определенную калибровку 4-векторов поляризации е — калибровку, в которой
ei* = (0, ej, е$ = (0, е2), ... (127,7)
Тогда
Niji — iSikSzfiimi (127,8)
где Mihlm — трехмерный тензор.
В качестве двух независимых поляризаций выберем для каждого из фотонов круговые поляризации с противоположными направлениями вращения, т. е. два спиральных состояния со спи-ральностями А, = ±1. После этого тензор Miklm можно представить в виде
S (127,9)
^•1 ^2 ^3^4
16 величин являются функциями от s, t, и и играют
роль инвариантных амплитуд; не все они, однако, независимы.
Величины Жядд3л4 —трехмерные скаляры. Пространственная инверсия меняет знак спиральностей; инвариантные же переменные s, t, и остаются неизменными. Поэтому требование /^инвариантности приводит к соотношениям
t, и) = М-х1 -х2 -%s-?,4(s, t, и). (127,10)
Обращение времени переставляет начальные и конечные фотоны, не меняя их спиральностей; переменные s, t, и снова остаются неизменными. Поэтому требование 7"-инвариантности приводит к равенству
Л^д2Лз?.4(А'> U ti) = Mxs%iK%2(s, t, и). (127,11)
Наконец, еще одно соотношение является следствием инвариантности амплитуды Mfi относительно перестановки двух начальных или двух конечных фотонов. Если произвести сразу обе перестановки (k1<r^k2, /г3<->-&4), то переменные s, t, и не изменятся, а перестановка в поляризационных индексах приводит к соотношению
/, «)==Мхддд3(s, t, и). (127,12)
Легко убедиться, что в силу свойств симметрии (127,10—12) число независимых инвариантных амплитуд сводится к пяти; в качестве них можно, например, выбрать
A4+ + + + > А4 + + —) М + _ + _, М + — + , М + + + _
§ 127]
РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ФОТОНЕ
619
(индексы + и — означают, для краткости, значения спиральности + 1 и —1).
Если подставить в (127,3) вместо Mfi одну из амплитуд то мы получим сечение рассеяния с заданными поляризациями начальных и конечных фотонов. Сечение же, просуммированное по конечным и усредненное по начальным поляризациям, получится заменой
