Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
где символ у означает фотон, а индексы J_ и || отвечают двум определенным выше поляризациямL).
Для распадов
¦Yi-^Ti + Ti. 7 и-* 7 н+7 и
левая сторона неравенства (130,10) обращается в нуль, поскольку функции п, rtj, п2 одинаковы. Для выяснения вопроса в этом случае необходимо учесть зависимость коэффициента преломления от k, появляющуюся по мере увеличения со. Требуемое неравенство:
^«(х, k1)Jr(k — k1)n(K, k—ki) — kn(n, k) > 0.
Уже из общих соображений можно утверждать, что и(х, /г) — возрастающая функция k, и потому это неравенство не может быть выполнено, так что рассматриваемые распады тоже невозможны (действительно, заменив n(k — kl) и n(kt) на n(k), мы
заведомо увеличим всю сумму, между тем как после замены она
станет лишь равной нулю). Сделанное утверждение относится к любым прозрачным средам и является следствием формулы Кра-мерса —Кронига для показателя преломления (см. VIII, § 64). В данном случае внешнее поле представляет собой «прозрачную среду» для фотонов всех частот со < 2т—вплоть до порога рождения пар, т. е. появления поглощения фотонов.
Таким образом, единственными разрешенными процессами распада оказываются
7 и Yi + 7-L. (130,11)
7« 7 н +7j_- (130,12)
Уже было отмечено, что импульсы и к2 направлены под малыми углами к импульсу начального фотона к. Если пренебречь этими углами, т. е. считать импульсы всех фотонов параллельными (будем называть такое приближение коллинеарным), то
1) Численные расчеты показывают, что неравенство п^> пп верно не только при со <^. т (когда справедливы выражения (130,5—6)), но и при всех со < 2т (порог для рождения пар фотоном).
640
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
распад (130,12) окажется невозможным — как это видно из следующих рассуждений.
Аналогично (127,4), представим амплитуду распада в виде
где е, ег, —4-векторы поляризации фотонов, определенные, как обычно, по их 4-потенциалам А. Выбрав трехмерную калибровку потенциалов, е=(0, е), перепишем это выражение в виде
(где индексы X, пробегают значения II ; ср. (127,9)^
векторы ех должны встречаться в каждом члене четное (0 или 2) число раз. Действительно, амплитуда Mfi инвариантна относительно преобразования СР, а поскольку потенциалы А (а с ними и е) СР-инвариантны, то должен быть СР-инвариантен также и тензор Mjkl. При СТ-преобразовании ец—*-ец, ех—> — ех (зарядовое сопряжение меняет знак Ь, а инверсия меняет знак к, оставляя аксиальный вектор b неизменным). Поэтому если в ка-ком-либо члене разложения вектор ех входит один раз, то соответствующий скаляр Мид* должен быть СР-нечетен. Но из единственных двух (в коллинеарном приближении) векторов k = k,=k2 и Ь, которые оба меняют знак при СР-преобразовании, нельзя составить СР-нечетного скаляра, чем и доказывается сделанное утверждение.
Таким образом, в коллинеарном приближении распад (130,12) запрещен. Более детальная оценка показывает, что отношение амплитуды этого процесса к амплитуде разрешенного в коллинеарном приближении распада (130,11):
(углы •& оцениваются из (130,9) как — па).
г) Индексы |] и _]_ соответствуют определенным выше поляризациям. Надо помнить, что орты е определяют направления векторного потенциала А (и тем самым поля Е'), и перпендикулярны направлению В'.
iklLil 1№2/
Две независимые поляризации определяются ортами*) е и || [kb], ех II [k [kb]].
Легко видеть, что в разложении
(130,13)
(130,14)
где
§ 130]
РАСЩЕПЛЕНИЕ ФОТОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
641
Тот факт, что из всех распадов оказывается возможным (в главном приближении) лишь распад Yu—*Y_l + Y.l> означает, что в неполяризованном пучке фотонов, распространяющихся в магнитном поле, в конце концов устанавливается ^-поляризация.
Перейдем к вычислению амплитуды распада Mfi = M±_Lt ц по теории возмущений, т. е. в предположении В0<^ Вкр.
Первые (по а и по внешнему полю) неисчезающие фейнма-новские диаграммы имеют вид
(со всеми возможными перестановками концов), где три концевые линии отвечают фотонам, а одна — внешнему полю. Но в колли-неарном приближении соответствующая этим диаграммам амплитуда обращается в нуль. Действительно, в силу калибровочной инвариантности внешнее поле может войти в амплитуду процесса лишь в виде 4-тензора его напряженностей а 4-векторы поляризации фотонов —лишь в антисимметричных комбинациях
с волновыми 4-векторами. Окончательное выражение амплитуды строится из тензора внешнего поля Fтензоров fltlv, f2lxv трех фотонов и их волновых 4-векторов k^, klllt k2VL-, при этом оно должно быть линейным по каждому из тензоров f^v, а для диаграмм (130,15) —линейно и по Fy.v. В коллинеарном приближении 4-векторы kt и k2 сводятся к k: kl — kiol/(i), /г2 = ?ы2/ы. В этих условиях всякое скалярное произведение, построенное указанным образом, обращается тождественно в нуль: легко сообразить, что такое произведение будет содержать по крайней мере один равный нулю множитель № или ke.
Таким образом, в коллинеарном приближении первый отличный от нуля вклад в амплитуду распада возникает лишь от шестиугольных диаграмм вида
с тремя линиями внешнего поля*). Отвечающая таким диаграммам
