Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
*) Более громоздкое вычисление приводит к такому же результату и при
конечном /.
648 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [Гл. XII
(ее называют иногда функцией Спенса). Отметим здесь для справок некоторые ее свойства:
F(l)+F( 1)=^+11пЧ, (131,20)
F(-t) + F(- l+E) = -J + lnEln(l-|), (131,21) /=¦(1)=^, F(- 1) = -?. (131,22)
Разложение при малых |:
/=¦№) = ?—?+т—ж+--- (131>23)
ГЛАВА XIII
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 132. Асимптотическое поведение фотонного пропагатора при больших импульсах
В § ИЗ был вычислен первый (по а) член разложения поляризационного оператора S' (к2) и было найдено, что при | /г'21 т2 с логарифмической точностью он имеет вид
(132,1)
Там же было указано, что по смыслу вывода этой формулы (как поправки первого приближения к пропагатору 4nD~1 = k2) предполагалось выполненным- условие
?lr.i|^l, (132,2)
чем ограничивается применимость формулы со стороны больших |/г2|. Покажем теперь, что в действительности выражение
(132,1) остается справедливым и при гораздо более слабом условии
f ln^^l. (132,3)
Зл т1 v '
Ход доказательства состоит в следующем1). Прежде всего, замечаем, что хотя при условии (132,3) вклад в S1 (k2) может возникать, в принципе, от членов всех порядков (по а) ряда теории возмущений, но в каждом (п-м) порядке надо учитывать только члены ~ ап \пп (| кг \/т2), содержащие большой логарифм в той же степени, что и а; члены с более низкими степенями логарифма заведомо малы в силу неравенства а 1.
Далее, исследование ряда теории возмущений для S' можно свести к исследованию рядов для S и Р с помощью уравнения Дайсона
rm = i4-^Sp\y^(p-{-k)T»(p + k, р- (132,4)
(см. (107,4)). Поскольку функция S' (k2) калибровочно-инвариантна, то при ее вычислении можно выбрать любую калибровку для величии % и Г. Наиболее удобна для этой цели калибровка Ландау,
Излагаемая постановка вопроса и результаты принадлежат JI. Д. Ландау, А. А. Абрикосову и И. М. Халатникову (1954).
G50
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
[Гл. .XIII
в которой пропагатор свободных фотонов имеет вид (76,11):
([32-5)
(DU) = 0 в (103,17)). Оказывается, что в такой калибровке ряды
теории возмущений для Ъ и Г^- вообще не содержат членов
с нужными степенями логарифмов. Поэтому в (132,4) достаточно подставить для Ъ и Гд их нулевые приближения: $ = G, Г11 — у1*. Тогда выражение (132,4) сводится к интегралу
5>(**) = t^Sp ^у^(р+к)у^(р)^. (132,6)
Это — интеграл Фейнмана, отвечающий диаграмме (113,1) первого (по а) приближения, который и приводит (после соответствующей перенормировки) к формуле (132,1),
Приступая к доказательству сделанных утверждений, проследим прежде всего за происхождением логарифма в интеграле
(132,6), Легко видеть, что логарифмический член возникает от области интегрирования
р2^> \k2\ при |&2|5>>т2. (132,7)
Действительно, формально разлагая G по степеням 1 /ур, имеем
G (р) « — = -Щ-,
ур р
G (р — k) ж —-—х ж ~ -\- — yk — -\- — yk — yk —- =
УР — Y* УР УР УР ур ур УР = Y?. , (УР) (УР') I (ур) (У,1?) (УР) (yk) (ур)
Р2 (Р2)2 ^ (р2У
При подстановке в (132,6) первый член, не зависящий от к, выпадает в результате регуляризации (в соответствии с условием Р/к.2—>-0 при k2~>-0). Второй член обращается в нуль при интегрировании по направлениям р. Третий же интеграл логарифмически расходится по р2\ взяв его в пределах от р2 ~ \ k2\ (нижний предел области (132,7)) до некоторого вспомогательного «параметра обрезания» А2, получим
(132.8)
Для регуляризации следует вычесть из HP/k2 его значение при k2 = 0. Но поскольку логарифмическая точность предполагает условие |/е2|^>т2, то при вычислении с этой точностью регуляризация осуществляется вычитанием значения при \k2\ ~ т2, в результате чего Л2 в аргументе логарифма заменяется на т2 и мы приходим к (132,1).
§ 132] ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР ПРИ БОЛЬШИХ ИМПУЛЬСАХ
Так как интересующие нас поправки в % и Г^1 имеют логарифмический характер, то с их учетом S и Г" будут отличаться от G и f медленно меняющимися логарифмическими множителями. Поэтому и в точном интеграле (132,4) будет существенна та же область (132,7), что и в приближенном интеграле (132,6). Тем не менее положить просто k — О в Г11 (рk, р\ k) нельзя: ввиду квадратичной расходимости интеграла его регуляризация требует рассмотрения также и двух следующих членов разложения Гм'(р + /е, р\ k) по степеням k. Мы, однако, ограничимся здесь обсуждением поправок к Гм'(р, р, 0), достаточно ясно демонстрирующим роль выбора калибровки и различие в характере интегралов, возникающих от диаграмм разных типов. Отметим также, что в аналогичном исследовании для $ нет необходимости, поскольку поправки в Г и S связаны друг с другом тождеством Уорда (108,8).
Первой (по а) поправке к Г (р, р\ 0) отвечает диаграмма
и соответственно интеграл ;
Гд a) = -iaj yKG (Pl) y,lG (Pl) yvDKv (p-Pl) -g*-. (132,9)
В обычной калибровке имеем
Div (Р - Рг) = glv >
и в интеграле существенна область pj^>p2, в которой он логарифмически расходится. Вычислив интеграл
Гй ч> » -4та Г ^ (TPi) vy 1) П _ggL (132,10) J (р!) (2л)
и регуляризовав логарифм, получим
