Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
126]
'ДВОЙНОЕ ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ
613
Для дальнейших вычислений выберем систему центра инерции (в s-канале). Тогда
^ = (со, к), 62 = (со, —к), ?3 = (со, к'), k4 — (со, —к'), (126,11)
s = 4co2, t — — (к —к')3 =—4cossin2y,
9
(126,12)
и — — (к + к')3 = —4со2 cos2
2 ’
где 0 —угол между к и к' (угол рассеяния). Ось х пространственных декартовых координат направим по вектору k-fk', а ось у —по к —к'х).
Преобразуемтеперьинтеграл (126,10), выбрав квадраты /?, II,... в качестве новых переменных интегрирования (вместо четырех компонент q). Имеем
дям • ¦ •
Поэтому якобиан преобразования
д 01, ll, ll, /!)
<3(9°, qx. <7„, qz)
16 D,
где D — определитель, составленный из 16 компонент 4-векторов h, l2’ k Интегрирование в (126,10) сводится просто к замене функций В иОв подынтегральном выражении их значениями при2)
(126.13)
(126.14)
Из условий /| = /2 = т2 получаем, как и в § 115,
<7° = со, q2 = co2 — т.2. Остальные два условия дают
(iq — Aj)2 — т2 = —2 qkt = —2со2 — 2qk' = 0, (q — &2)a — тг=—2 со2 — 2qk = 0,
так что
qk = qk' = — s/4,
или в компонентах:
q° = со, q qz = ±V ы'
mi-ql=±
S Г\
2(s + 0’ q'J~ ' st — 4m2 (s+0 4(s + <)
(126,15)
*) При t > 0: (k — k')2 < 0, т. e. вектор k — k' мнимый. Это затруднение, однако, легко обойти, раскрывая все векторные выражения при t < 0 и производя затем аналитическое продолжение к t > 0.
2) Такой способ интегрирования автоматически учитывает лишь по одному
из нулей аргументов 6-функций.
614 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [Гл. XII
Таким образом, интеграл (126,10) равен
<126’16>
где суммирование производится по двум значениям q из (126,15), Определитель D можно записать с помощью единичного антисимметричного тензора:
D = е^р = — envp =
= — вцчро (я — ^)ц {ki — &j)v (Аа —
(при преобразованиях использована антисимметрия е^.рст). Заметив, что из четырех множителей временную компоненту имеет только к17 находим
D = — coq [(к + к') (к — к')].
Раскрыв это выражение при /<0 и затем продолжив к t > 0, получим
D = — щгУ s + t V— t —±-j |s/ [st — Am1 (s + 0]}‘/г- (126,17)
Нужный выбор знака в этом выражении можно установить на основании следующих соображений. Положим для простоты 5 = 1. Тогда видно, что в физической области (s > 0, t < 0) имеем Als (s, t) < 0. Действительно, оба знаменателя в подынтегральном выражении в (126,6) имеют одинаковый (отрицательный) знак:
(q — &4)2 — т2 = —2ю2 — 2qk' <—2со (со — | q |) < 0,
(q — &2)2 — т2 = —2ft)2 — 2qk <—2ft) (со — | q |) < 0
(здесь использовано, что, в силу наличия двух 6-функций в числителе, имеет место (126,14) и потому | q | < со)х). Из (126,7) видно тогда, что отрицательна должна быть и функция Л2 (s, t) при s > 0, /> 0 (если учесть, что, согласно (126,16), эта функция знакопостоянна). Это значит, что в (126,17) надо выбрать верхний знак, так что окончательно
Л2 = —л4--------------------т-. (126,18)
{s/[s/ —4m2 (s+/)]} ^ v ’
Так как по своему смыслу функция Л2 (s, /) должна быть вещественна, то кроме положительности s и / имеется еще условие положительности выражения в квадратных скобках в знаменателе:
st — 4т2 (s-{-1)^0, s > 0, t > 0. (126,19)
х) Разумеется, это не случайно. Отрицательность Als в действительности следует из условия унитарности, что особенно ясно при / = 0, когда Als определяет полное сечение.
§ 126]
ДВОЙНОЕ ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ
615
Эти неравенства определяют область, по которой должно производиться интегрирование в двойном дисперсионном интеграле (126,8) (заштрихована на рис. 23). Ее границей является кривая
st — 4m2 (s +1) = О
с асимптотами s = 4m2 и ? = 4m2.
Дисперсионные соотношения в форме (126,5) и (126,8) еще не учитывают условий перенормировки, и при буквальном их применении интегралы оказались бы расходящимися и требовали бы регуляризации. Условие перенормировки для амплитуд М (s, t) заключается в требовании
Af (0, 0) = 0. (126,20)
Действительно, амплитуда рассеяния 4тг фотона на фотоне должна обращаться в нуль, когда k1—k2=k3 = ki = 0 (а потому и s = t =0), поскольку k — 0 означает постоянный во времени и пространстве потенциал, которому не отвечает никакое физическое поле (мы еще обсудим это условие более детально в следующем параграфе).
Для автоматического учета этого условия надо написать дисперсионное соотношение «с вычитанием» (подобно переходу от (111,8) к (111,13)). Мы придем к такому соотношению естественным образом, произведя сначала тождественноэ преобразование соотношения (126,8) с помощью тождества
______1______________st________, S . t ^ 1
(s'—s) (t' — t) (s'—s) (t'—t)s't'*(s'—s)s't''(t'—t) s’I' 1 s'I' '
Подставив его в подынтегральное выражение в (126,8), получим
М
где
А2 (s' , t') ds' dt'
-s) (t'—t) s't'
, _s_ Cf(s')ds' t Cg(t')dt'
я J (s' — s)s' я J (t'—t) t'
c,
g(t) = lj ddpJlds',
Последние равенства, однако, имели бы смысл лишь при условии сходимости всех интегралов. В противном же случае функциям f(s), g(t) и постоянной С должны быть предписаны заранее заданные значения, соответствующие условию перенормировки. Именно надо положить
