Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
|М//|2->|{2|Л1+ + + +р + 2|Л1+ + __р + 2|М + _ + _|2 +
+ 2 | М+ __ + | 2 -f 8 | Л4 + + + _ |2}. (127,13)
Соотношения симметрии (127,10—12) связывают между собой различные инвариантные амплитуды как функции одних и тех же переменных. Дальнейшие функциональные соотношения возникают как следствие перекрестной симметрии (§ 78), если учесть, что амплитуда Mfi во всех каналах описывает одну и ту же реакцию (взаимное рассеяние двух фотонов) и потому не должна меняться при переходе от одного канала к другому.
Переход от s-канала (которому отвечает направление стрелок на диаграммах (127,1)) к ^-каналу осуществляется перестановкой 4-импульсов &2 и —k3 (т. е. заменой переменных s<->t) и перестановкой индексов спиралыюстей Я2<->— Я3. Аналогичным образом, переход от s- к «-каналу осуществляется перестановкой k2 и —ki (причем s<->u) и заменой —Это приводит к соотношениям
M+_ + _(s, t, u) = M + + + +(u, t, s),
/W+__+(s, t, u) = M + + + +(t, s, u), (127,14)
M + + + +(s, t, u) = M+ + + +(s, u, t),
М+ + __ и M+ + + _ полностью симметричны по переменным s, t, и1).
Поэтому достаточно вычислить лишь 3 из 16 амплитуд, например,
М. + + + +, А4 + + —, М. + + ^—
Соотношения (127,10—12), (127,14) относятся к полным амплитуда^— суммам вкладов всех трех диаграмм (127,1). Но сами эти вклады связаны между собой соотношениями, очевидными из сравнения диаграмм. Так, диаграмма б) получается из а) заменой
— kt, е2<-»е4, и потому их вклады в инвариантные амплитуды получаются друг из друга заменой переменных s<->« и индексов Я2<-» — Я4; аналогично вклад диаграммы в) получится из а) заменой t*-m, Яя<-> —Я4.
х) Здесь учтена также симметрия по отношению к паре конечных фотонов. Поскольку три переменные s, t, и не независимы, то достаточно было бы писать два аргумента (например, два первых); мы сохраняем все три лишь с целью более ясного выявления симметрии их перестановок.
620
Радиационные поправки
[Гл. XII
Вычисление амплитуд
Интеграл А1$\ отвечающий диаграмме (127,1, а), имеет вид
(126,4), причем
В(а> = Sp {(уег) (yq — yk2 + m) (ye2) (yq + m) X
X (yel) (yq — yk4 -f m) (yel) (yq — укг — yk2 + m)\. (127,15)
Интегралы (126,4) логарифмически расходятся. В соответствии с условием (127,6) их регуляризация осуществляется вычитанием значения при k1 = k2~ ... =0^. Вычисление регуляризованных интегралов, однако, чрезвычайно громоздко.
Наиболее естественный путь для вычисления амплитуд рассеяния фотона на фотоне основан на использовании двойного дисперсионного соотношения (В. De Tollis, 1964). Этот метод наиболее полным образом учитывает симметрию диаграмм и почти полностью, исключает трудности интегрирований.
Функция Л(s, t) (и аналогично A[f) для каждого заданного набора спиральностей A,lt к2> А3, Я4 вычисляется согласно (126,6). Ввиду наличия под интегралом двух б-функций нам нужно знать значение Bia) лишь при
lt = q* = m\ ll^(q-k1-k2f = m'1\ (127,16)
эти равенства можно учитывать уже при вычислении следа (127,15). Но для дальнейшей подстановки в (126,22) нам фактически требуется значение A\f лишь при ^ = 0. (Это равенство означает, что k = k' и k2 = k4.) Тогда интеграл (126,6) принимает еид
тт2 /о____4т2 г Вт doa
4?<s,0) — (127,17)
(ср. вывод (115,10)). Введя угол й между q и к, имеем
(q — k2y — от2 = — 2со (1 — | q | cos3) = — V s J^l — у I/"s— Ат- cosftj .
1) Отметим, что при суммировании складов всех диаграмм расходящиеся части интегралов сокращаются. В этом легко убедиться, чаметив, что асимптотический (при q—> оо) вид интеграла есть
Mj$vp со J Sp (yq) уц (yq) ур (yq) yv (yq)} ~4.
После усреднения по направлениям q (ср. (131,Ю)) след легко вычисляется и дает M<$vp со (^vp + В-,Л-8^Р ~ 2S^%V) J .
Суммирование по диаграммам означает симметризацию этого выражения по индексам X, ц, v, р, в результате чего оно обращается в нуль. Подчеркнем, однако, что это сокращение имеет в известном смысле случайный характер и не устраняет необходимости в регуляризации, хотя сна и сводится при этом к вычитанию конечной величины.
§ 127]
РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ФОТОНЕ
621
Интегралы (127,17) фактически выражаются через элементарные функции. Вычисление же функции Af) (s, t) согласно ее определению (126,18) вообще не требует интегрирований; при этом выражение ВЫ) должно быть взято для значений q из (126,15), удовлетворяющих, помимо (127,16), также н условиям (q—k2)2=m2,
После вычисления функций Als, Аи, А2 дисперсионное соотношение (126,22) дает амплитуду непосредственно в виде одно-и двукратных определенных интегралов. Приведем здесь окончательный результат для трех инвариантных амплитуд, достаточных, согласно сказанному выше, для определения также и всех остальных амплитуд1):
±М + + + _ = 1+4 (1 + 1 + 1) [T(s) + T(t) + T(u)]- (127,18)
Здесь B(s), Т (s), I (s, t) обозначают следующие функции:
= Т f--------dj—rrf{]n[l—iO-sy(\-y)] + \n[]—iO-ty(] -(/)]},
У 1, /1 _#Л__ '_1
О у{\-у)-—
выражения же в областях 0 < s < 4 и s>4 получаются из
(127,19) путем аналитического продолжения по правилу s —*s + i'0, т. е. через верхнюю полуплоскость этих переменных. (Для упрощения записи в формулах (127,18—19), и только в них, буквы s и t обозначают отношения s/m2, i/m'2.)
