Статистическая теория необратимых процессов - Айзеншиц Р.
Скачать (прямая ссылка):
Применение теории к реальным газам, однако, принесло разочарование. Гелий является единственным известным газом, не ожижаемым при температуре, при которой квантовые эффекты становятся заметными. Однако эффекты взаимного притяжения молекул имеют тот же порядок величины, так что анализ зависимости между давлением и объемом в газообразном гелии до сих пор окончательно не завершен.
Для вычисления коэффициентов переноса необходимо найти соответствующие сечения столкновения. Начальное относительное движение частиц определяется волновой функцией типа плоской волны ~ exp (2mpz/h). Конечное состояние обладает волновой функцией, которую обычно представляют в виде
где г — расстояние между сталкивающимися частицами, P1 — полиномы Лежандра, а 8, — фазовые постоянные. Они должны быть определены непосредственным интегрированием волнового уравнения, в которое входит потенциальная энергия взаимодействия. Эти фазовые постоянные близко соответствуют классическим углам отклонения. Каждый член в написанном нами ряду представляет столкновение с данным моментом количества движения L==Ih, I = О, 1, 2, ....
^2(1+2/)^-1)/^05*), СТАТИСТИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 75
Кинетическое уравнение (6.26) используется для вычисления коэффициентов переноса в полной аналогии с классическим кинетическим уравнением. Фактически выражение для вязкости (4.21) остается справедливым при условии, что уравнение (4.19) заменяется на
J(P) = ^Hy 1 + Sin2 W - Wl (7.10)
В этом выражении свойства симметрии волновых функций учитываются коэффициентами X1. В бозонном газе X1 = 0 для нечетных и 1,= 1 для четных значений I. Для фермио-нов с противоположными спинами применяются те же самые коэффициенты. Для фермионов с параллельными спинами tj=I для нечетных и tz = O для четных значений I. В естественном фермионном газе, где вероятность двух параллельных спинов в три раза больше вероятности антипараллель-пых, следует взять X1 равным 3/4 и 1/4 для нечетных и четных значений I соответственно.
Точность вычисления фазовых постоянных, как правило, довольно значительно зависит от точности потенциала взаимодействия. Однако для низких энергий возможные погрешности в потенциальной энергии и, следовательно, в теории переноса, вообще говоря, играют меньшую роль, чем эффекты симметрии, выражающие различие между газом бозонов и фермионов.
Рассчитанные вязкости для двух газообразных изотопов гелия находятся в удовлетворительном соответствии с экспериментом в области температур между 1 и 4° К. Это соответствие дает единственный пример непосредственной проверки квантовой теории газов.
Вычисление других коэффициентов переноса не представляет каких-либо трудностей, но мы до сих пор не располагаем экспериментальными данными, с которыми их можно было бы сопоставить.
7.2. Твердое состояние
Чтобы избежать сложных общих формулировок, связанных с геометрией кристаллов, мы рассмотрим только простейшие кубические решетки. При этом мы будем предпо- 76
ГЛАВА III
лагать, что твердые вещества представляют собой химические элементы и не являются электронными проводниками электричества или тепла.
Решетка описывается совокупностью векторов R, декартовы координаты которых являются целыми кратными от основной длины. Каждый узел решетки или, точнее, малый объем, окружающий узел решетки, занят частицей с массой т. Обозначая смещение частиц относительно узловых точек через Tr, выразим потенциальную энергию кристалла в виде
Ф = Ф0 + Ф2 + Ф3) (7.11)
где Ф0 — отрицательная константа, равная энергии связи решетки в целом, а
определяет гармонические силы, пропорциональные и противоположные смещениям. Ангармонический член
ф3 =МЮ JfRfR'rR" (7.13)
мал. и им в первом приближении можно пренебречь.
Ввиду этих предположений движение частиц можно представить в виде ряда колебаний (типов колебаний), которые определяются как синхронные колебания всех атомов. На каждый данный тип колебаний не оказывают влияния другие, имеющиеся в решетке, колебания. В математическом выражении колебания представляются линейной комбинацией атомных смещений
U, = и (f. R) ¦ rR. (7.14)
Зависимость их от времени определяется уравнением движения маятника
d2 U,
—i = _l«o(f)]»U,. (7.15)
где (о — круговая частота. Энергия каждого типа колебаний является интегралом движения.
Для определения частот и коэффициентов всех колебаний в общем случае системы N гармонически связанных частиц необходимо решить уравнение степени 3N. Ввиду периодичности решетки или, говоря более специальным языком, СТАТИСТИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 77
трансляционной симметрии решетки, достаточно решить систему уравнений третьей степени. Известно, что эти колебания решетки имеют вид
U1 = U? exp [to (f) t\ 2 exp (ti ¦ R). (7.16)
R
Колебания решетки подобны акустическим стоячим волнам, которые также являются синхронно и взаимно независимыми. В дальнейшем мы будем разлагать каждый тип колебаний на две бегущие волны, волновые векторы которых имеют противоположные знаки.
