Статистическая теория необратимых процессов - Айзеншиц Р.
Скачать (прямая ссылка):
Bj-Ek
1 — cos-t-
2 (j, к. X) = 2 I Ujk I» (Ej_Eky . (6.24)
где Ej и Ek — невозмущенные энергетические уровни. Согласно уравнению (6.24), эта вероятность ничтожно мала во всех случаях, кроме Ej = Ek, но даже в этом случае она пропорциональна только т2.
Вместо вычисления вероятности перехода между двумя стационарными состояниями можно вычислить вероятность перехода из данного начального состояния в полосу конечных состояний WkAEk, занимающих ширину ДEk энергетического спектра. Эта вероятность равна'
^ 2(Л к, x) = l\Ujk\>wkx. (6.25)
k
Этого выражения для вероятности достаточно для рассмотрения случайных процессов.
Приведенный здесь вывод можно сравнить с крупнозернистым распределением в классической механике. Интервал времени не должен быть слишком велик, чтобы предотвратить возможность многократных переходов, но он должен
5* 68
ГЛАВА III
быть больше, чем ДEJh. Здесь очевидно соответствие с классическим периодом повторения столкновений и продолжительностью столкновения.
Для приспособления классических теорий переноса к квантовой механике целесообразно пересмотреть кинетическое уравнение (3.15) с точки зрения квантовомеханической теории столкновений. Сечения столкновения определяются как функции угла отклонения, относительного импульса и момента импульса Л(ф, р_, L); так как L ограничено дискретными значениями, классическое интегрирование по В заменяется суммированием по L. Обозначим сумму таких сечений через А. Если известен потенциал взаимодействия, сечение столкновения может быть получено из непосредственного решения волнового уравнения и подставлено в явном виде в кинетическое уравнение вместо классического сечения. Кроме того, должно быть принято во внимание влияние симметрии или антисимметрии волновых функций. Свойства симметрии приводят к статистической корреляции между различными частицами. В то время как в классической механике вероятность столкновения пропорциональна числу частиц в начальном состоянии, вероятность в квантовой механике зависит также и от числа частиц в конечном состоянии. Квантовомеханическое кинетическое уравнение было получено Уленбеком и Юлингом [43] в виде *)
_/(Pl)[l ± /(p0]/(p2)[1 ± /($]} P_AdKdp2, (6.26)
где верхний и нижний знаки применяются соответственно к частицам с симметричной и антисимметричной волновой функцией, а А — квантовомеханическое сечение.
Более строго следовало бы исходить из, квантового аналога уравнения Лиувилля (6.5); тогда кинетическое уравнение, как и при классическом выводе, получилось бы в результате вывода уравнения, определяющего приведенную функцию распределения, интегрирования его по времени и учета эффекта низкой плотности. Такой вывод получен, но
') О выводе кинетического уравнения в квантовой механике см. также дополнительную литературу [84, 85, 89, 90]. — Прим. ред. СТАТИСТИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 69
он более сложен, чем в классической теории, и несколько менее убедителен, так как на промежуточных этапах используются различные приближения, влияние которых трудно поддается опенке.
Роль уравнения Фоккера — Планка в квантовой механике полностью еще не выяснена, однако показано, каким образом классическое уравнение Фоккера — Планка (3.23) должно быть дополнено путем введения поправочных членов, если отклонения от классической теории невелики.
Принципы и методы, намеченные выше, дают возможность перейти к тем приложениям статистической механики, в которых учитываются специфически квантовые эффекты. VII
tMUMUMUUitUMU ГЛАВА MWMMMMVMWHM»
Статистическая квантовая механика. Приложения
7.1. Газы
В соответствии с принципами квантовой механики индивидуальные молекулы неразличимы; этот факт находит выражение в симметрии или антисимметрии волновых функций и приводит к статистической корреляции между молекулами даже при отсутствии сил взаимодействия между ними.
Газ должен рассматриваться как ансамбль статистически независимых волн де Бройля, причем каждая волна представляет состояние одной частицы. Амплитуды волн квантованы в соответствии с правилами, применимыми к гармоническим осцилляторам [см. уравнение (6.18)].
Квантовое число п или, точнее, и (є) интерпретируется как число частиц, занимающих одночастичное состояние с уровнем энергии е. Число осцилляторов на этом уровне в соответствии с уравнением (6.16) равно ш(е), а для частиц со спином равно целому кратному от этого выражения.
Мгновенное состояние газа характеризуется числом осцилляторов частоты є/А, квантовые числа которых равны л(е). Совокупность этих чисел, обозначаемых через q \п(є)], можно рассматривать как вероятность распределения по и (є). Это распределение в случае термодинамического равновесия определяется по закону Больцмана.
В соответствии с этим энтропия газа
5 = ^2^(5) 2 ?[«(*)] In?І»(Ю1 (7.1)
5 л (s)
должна быть исследована на максимум при условии, что функция распределения нормирована:
2? [и (s)] = l, (7.2)
в(') СТАТИСТИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 71
что полная энергия фиксирована:
