Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Эти соображения указаны Бертраном (Journal de l'Ecole Polytechnique, вып. 28). ГЛАВА IV. РАБОТА. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
103
Вообще, для случая, когда существует силовая функция, можно установить предложение, которое мы только выскажем, не вдаваясь в слишком пространные аналитические подробности.
Если замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не пересекая при этом никакой точки, в которой функции X, Y, Z перестают быть непрерывными и дифференцируемыми, то полная работа силы F на этой замкнутой кривой равна нулю.
Доказательство этого предложения может быть легко получено, если исходить из приводимой ниже формулы.
Когда кривая С стягивается в точку Р, то ее последовательные положения образуют некоторую поверхность 5, на которой, по предположению, функции X, Y, Z конечны, непрерывны и дифференцируемы. Справедлива следующая формула (формула Ампера—Стокса):
IT= JXdx+Ydy + Zdz = f f[?-%)dydx +
(С) (S)
. IdZ dY\, , , /дХ dZ\ , ,
где первый интеграл берется по кривой С, а второй — по поверхности 5. В силу самих условий, определяющих существование силовой функции, элементы двойного интеграла по поверхности 5 всюду равны нулю, вследствие чего |Г = 0.
83. Поверхности уровня. Сделаем несколько важных замечаний, относящихся к случаю, когда существует силовая функция U.
Пусть М(х, у, z) — одно из положений материальной точки, a My' — полупрямая, параллельная оси Oy (рис. 60). Проекция
с- dU
силы г на эту полупрямую равна , т. е. равна пределу отношения
U'-U MM7 '
когда MM' стремится к нулю. Здесь M' — точка на полупрямой My' и [/' — значение функции U в этой точке. Так как направление оси Oy может быть выбрано произвольно, то мы видим, что проекция силы F на произвольное направление MD равна пределу отношения
U" — U ММ" '
когда ММ" стремится к нулю, где М" — точка на прямой MD, a U" — значение функции U в этой точке. Этот предел называется производной функции U по направлению MD. 104
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
Поверхности, определяемые уравнением U(x, у, z) = С,
где С — постоянная, называются поверхностями уровня. Изменяя непрерывным образом С, мы получим семейство таких поверхностей, причем через каждую точку области пространства, в которой определена функция U, проходит одна из этих поверхностей. Сила, действующая на материальную точку в каком-нибудь ее положении М, нормальна к поверхности уровня S, проходящей через М, так как ее
'О
У
Рис. 60.
проекции равны трем частным производным функции U или функции U—С. Более того, сила F направлена относительно этой поверхности в ту ее сторону, в которую функция U возрастает. В самом деле, пусть MN— нормаль к поверхности уровня U, направленная в сторону возрастания U. Проекция силы на эту нормаль совпадает с самой силой. Она будет положительной или отрицательной в зависимости от того, будет ли сила направлена по MN или в противоположную сторону. Так как эта проекция равна
г U1-U
Iim 1_—,
AfAf1
где AI1 — точка на MN, бесконечно близкая к Al, то она положительна, ибо, по предположению, Ui^U. Таким образом, сила направлена по нормали MN и ее величина F равна производной от функции U по этой нормали, что символически может быть обозначено следующим образом:
dU ГЛАВА IV. РАБОТА. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
105
Проведем поверхность уровня S1, бесконечно близкую к 5, со стороны возрастания U. Эта поверхность пересечет какую-нибудь нормаль MN в некоторой точке M1. Так как U принимает на поверхности S1 постоянное значение U1, то выражение
с, .. U1-U F = Iim 1
AfAf1
в котором числитель постоянен для всех положений точки AI на поверхности S, показывает, что сила изменяется обратно пропорционально отрезку нормали к поверхности уровня S, заключенному между этой поверхностью уровня и поверхностью уровня, бесконечно близкой к ней.
Поэтому распределение сил в рассматриваемом поле можно приближенно представить следующим образом.
Пусть є — постоянная, выбираемая тем меньшей, чем лучшим желательно получить приближение. Построим поверхности уровня
U= 0, U = z, U = 2є, ,.,, U = ne, ....
U = — s, U = — 2г, ..., U = —ke, ...
и припишем этим поверхностям номера 0, 1, 2,..., п, ..., — 1, —2.....—k, ... В точке AI какой-нибудь из поверхностей S, имеющей номер р, построим нормаль в сторону поверхности S1, имеющей номер р-\- 1, и обозначим через AI1 точку пересечения этой нормали с поверхностью S1. Тогда сила в точке AI
направлена в сторону AIAI1 и имеет приближенное значение F = -=^=.
AfAf1
84. Примеры. 1°. Сила, перпендикулярная неподвижной плоскости и являющаяся функцией расстояния от движущейся точки до этой плоскости, имеет силовую функцию. В самом деле, примем эту плоскость за плоскость ху (рис. 61, а). Тогда сила будет параллельна оси Oz, проекции X и У будут равны нулю, a Z будет функцией только z: Z = у (z). Элементарная работа, равная Z dz или ср dz, является полным дифференциалом функции U. Поэтому
U = f т (z) dz.
Поверхностями уровня будут плоскости, параллельные плоскости ху. Так, например, если сила есть вес точки Af, то, направляя ось z вертикально вверх, получим
