Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
,, MM'
промежуток времени dt, то скорость V этого перемещения равна—,
и выражение (1) элементарной работы может быть представлено в виде
Fvcos(F,v) dt, (2)
так как угол между силой и скоростью совпадает с углом между силой и перемещением.
Элементарная работа, которая может быть написана также в виде
MM' ¦ [Fcos(FMM')],
равна произведению перемещения MM' материальной точки на проекцию силы на направление перемещения. Если к точке M приложено несколько сил, то работа равнодействующей этих сил на каком-нибудь перемещении равна сумме работ составляющих сил на том же перемещении. Это вытекает из того, что 98
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
проекция равнодействующей на направление перемещения равна сумме проекций составляющих.
Если работу написать в виде
F ¦ [MM' cos (FMM')],
то ее можно определить как произведение силы на проекцию перемещения на направление силы. Следовательно, если перемещение MM' есть геометрическая сумма нескольких перемещений, или если скорость точки есть геометрическая сумма нескольких скоростей, то элементарная работа силы F, соответствующая результирующему перемещению или результирующей скорости, равна сумме элементарных работ силы F, соответствующих составляющим перемещениям или составляющим скоростям.
Если элементарная работа какой-нибудь силы равна нулю, то либо перемещение равно нулю, либо сила равна нулю, либо сила перпендикулярна к перемещению.
78. Аналитическое выражение элементарной работы. Пусть х, у, г — координаты точки M относительно трех прямоугольных осей, x-\-dx, y-\-dy, z-\-dz— координаты бесконечно близкой точки M' и X, У, Z—проекции силы F на эти оси. Направляющие косинусы силы F и перемещения MM' равны
К. A. dx dy dz
F ' F • F ' MM' • MM' ' MM' '
Вычисляя cos (FMM'), мы получим следующее выражение элементарной работы в прямоугольных декартовых координатах:
F • MM' ¦ cos (F^MM') = Xdx+ Y dy + Zdz.
Эту формулу можно получить непосредственно, пользуясь формулой (3) п. 3 для скалярного произведения двух векторов.
79. Полная работа. Единица работы. Допустим, что точка M совершает конечное перемещение из положения M0 в положение M1 вдоль какой-нибудь кривой M0M1 (рис. 56) по какому-нибудь закону движения. В положении M0 точка находится в момент ^0, а в положении M1 — в момент tv Пусть рис 56. к точке M приложена сила F.
Тогда полной работой силы F на рассматриваемом конечном перемещении называется сумма элементарных работ силы F на всех бесконечно малых последовательных перемещениях, из которых складывается конечное перемещение. Таким образом, дуга M0M разбивается на бесконечно малые ГЛАВА IV. РАБОТА. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
99
части M0M', М'М", ... и вычисляется сумма f = lim [F0 • M0M' • Cos(ZVW^)-Hcv • М'М" ¦ cos (/57M7M'')+...],
где F0 — значение силы F, приложенной к точке, когда точка находится в положении M0, F' — значение этой силы, когда движущаяся точка находится в положении M' ... Сумма |Г и есть полная работа силы F. Ее можно вычислить с помощью интеграла
(M1)
f= J Xdx+Ydy + Zdz, (1)
(Mo)
выражающего сумму элементарных работ. Например, если F всюду нормальна к траектории, то все элементы суммы равны нулю и работа обращается в нуль.
Единица работы. Если основные единицы выбраны, то полная работа единичной силы, приложенной к точке, совершающей перемещение в единицу длины вдоль направления силы, получается равной единице. Эту работу и принимают за единицу работы. Например, если за единицу силы принята килограмм-сила, а за единицу длины метр, то полученная единица работы будет килограммометр. В системе CGS единица работы называется эргом.
Для вычисления |Г полезно рассмотреть несколько частных случаев. 80. Сила зависит от времени или скорости. В наиболее общем случае, который может представиться, сила зависит от положения точки, от ее скорости и от времени, так что X, У, Z являются заданными функциями переменных
dx dy dz
х> У' z• St--Wdt и L
В этом случае для вычисления оГ надо знать движение точки из M0 в M1, т. е. знать выражения
* = <р(9. J = «КО. * = <•>(*)
ее координат в функции времени. Тогда, подставляя эти выражения х, у, z, а также получающиеся из них дифференцированием выражения dx dy dz „ ...
~dt ' ~dt ' ~~dt в 0ПРеделенный интеграл (1), приведем его к виду
f.
§ = J* Ф(0 dt,
который и позволяет вычислить |Г.
81. Сила зависит только от положения движущейся точки.
В этом случае для нахождения § достаточно знать только кривую С, по которой движущаяся точка перемещается из M0 в M1. При этом нет необходимости знать закон, по которому точка перемещается по кривой, так что вычисление полной работы приводится к задаче геометрии. Действительно, в рассматриваемом 100
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
случае можно выразить координаты точки M кривой С в функции некоторого параметра q, изменяющегося от q0 до qu когда точка описывает дугу M0M1, так что
x = <?(q), У = z = <s>(q).
Компоненты X, У, Z, завися только от х, у, z, будут вдоль кривой С некоторыми функциями от q. Поэтому, подставляя в интеграл (1) выражения х, у, z и получающиеся из них выражения для dx, dy, dz, получим для него формулу
