Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Этот последний случай представляется для точки, притягиваемой к двум неподвижным центрам силами, обратно пропорциональными квадратам расстояний, что подробно рассматривается в теории притяжения.
90. Пример. Притяжения, пропорциональные расстояниям. Найти положение равновесия материальной точки, притягиваемой неподвижными центрами пропорционально расстояниям и массам притягивающих центров.
Пусть P1, P2,_____ Pn (рис. 64) — неподвижные центры и Tn1, т2,____ тп —
их массы. Силы притяжения F1, F2,___
..., Fn, действующие на материальную точку М, направлены по MP1, MP2, ... ..., MPn, их величины равны соответственно
F1 = M1MP1, F2 = Zm2MP2, ...,
Fn- fmnMPn, hщ Is \рг
где /—постоянная.
Пусть ах, Ьь C1, а2, Ъъ с2, ..., ап, bn, сп — координаты притягивающих "ис- Ь4.
центров, а X, у, г — координаты
точки М. Проекции силы Fjt на оси координат равны проекциям соответствующих отрезков MPjl, умноженным на fmk. Следовательно, они равны
fmk(ak — x), fmk (bk —у), fmk (ск — z).
Отсюда для проекций равнодействующей получаем
X = fjmk(ak-x), Y — f ^Pt тк (bk — у), Z = Zjmk(Ck-Z), (3)
где суммирование распространено на все силы, т. е. на все значения к = 1, 2.....п. Полагая
P- = Jmk,. (j-5 = Jmkak, vn = Jmkbk, = JmkCk, можем написать
X = fy-(i-x), У =/(j. (і] — у), Z=f,i(Z-z).
Рассмотрим точку Q с координатами 5, ц, Она называется центром
масс системы масс P1, P2.....Pn. Полученные только что уравнения
показывают, что равнодействующая сил, действующих на М, есть сила, которую можно получить, если всю систему притягивающих центров заменить единственной точкой О, полагая ее массу равной ц. Равнодействующая направлена по МО а ее значение равно fy-MG. Следовательно, равновесия не будет, если точка M не совпадает с центром масс G системы.
Мы предполагали, что величины mlt т2.....тп существенно положительны. Допустим теперь, что эти числа не являются больше массами, а лишь некоторыми коэффициентами, и предположим, что некоторые из них отрицательны. Это равносильно предположению, что соответствующие силы являются отталкивающими, так как проекции какой-нибудь из сил Fk 116
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
меняют знак вместе с тк, и сила Fk меняет направление на обратное, когда Fte делается отрицательным.
Если (д. отлично от нуля, то приведенные вычисления сохранят силу, и мы придем к тем же результатам. Если а равно нулю, то три величины (3) не зависят от х, у, г, равнодействующая постоянна по величине и направлению и положения равновесия нет. Если, наконец, одновременно
m- = O, 2 ткак = 0, 2 = °> 2 ШкСк =
то X, Y, Z равны нулю, каковы бы ни были х, у, z, и, следовательно, точка M находится в равновесии в любом положении.
В рассматриваемой задаче существует силовая функция U. В общем случае, когда (д. отлично от нуля, она будет
U = - Щ. [(6 - *)» + - у)» + (С - т = - MG*.
Если (д. положительно, то эта функция равна нулю в точке G и отрицательна во всех остальных точках. Она, следовательно, имеет максимум в положении равновесия, которое вследствие этого устойчиво. Когда jx отрицательно, имеет место обратное. Если ;х равно нулю, то X, У, Z имеют постоянные значения fjmkak, f J1 mkbk,/JmkCk, и силовая функция имеет вид
U =f{x 2 mkak + у 2 mkbk + г 2 mkck).
91. Точка, движущаяся без трения по неподвижной поверхности. Пусть дана неподвижная поверхность 5 (рис. 65) и на ней точка М, находящаяся под действием заданных сил, равнодействующая которых равна F. Для того чтобы точка находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы эта равнодействующая F, если она отлична от нуля, была нормальна к поверхности. В самом деле, если сила не нормальна к поверхности, то ее можно разложить на две силы, из которых одна направлена по нормали и прижимает точку к поверхности, а другая лежит в касательной плоскости и заставляет точку скользить по поверхности. Равновесия, следовательно, не будет. Если в каком-нибудь положении M сила F нормальна, то равновесие будет иметь место при условии, что точка не может покинуть поверхность ни в ту, ни в другую сторону. Это — случай, наиболее часто встречающийся. Но если точка просто положена на поверхность, как какой-нибудь предмет положен на стол, то для равновесия недостаточно, чтобы сила была направлена по нормали; сила должна быть направлена еще в такую сторону, чтобы она прижимала точку к поверхности.
Если точка может скользить по поверхности без трения, то действие поверхности на точку выражается силой, которая не может оказывать никакого сопротивления скольжению, т. е. не может иметь никакой касательной составляющей. Эта сила, следовательно, нормальна к поверхности; она называется нормальной реакцией. Когда точка находится в равновесии, нормальная реакция равна и противоположна силе F. По закону равенства действия и противодействия ГЛАВА V. РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ
117
точка M оказывает на поверхность действие, равное и противоположное MN, которое называется давлением тонки на поверхность. Выразим все эти результаты аналитически. Пусть
