Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
,df ,df .df. , dfx , dfx dfx kTx' ^dI'
Так как реакция и сила F находятся в равновесии, то
Эти три уравнения совместно с уравнениями кривой определяют пять неизвестных х, у, Z, X, X1.
Можно упростить вычисления, если положить, что координаты точки кривой выражены в функции одного параметра q при помощи уравнений
x=yiq), y = &iq), Z = (Oiq).
Направляющие косинусы касательной пропорциональны производным ср' iq), ф' iq), о/ iq), и условие равновесия получится, если приравнять нулю величину
*?'(?)+Г Ф'(?)+?<(?).
которую мы обозначим через Q. Каждому значению q, обращающему Q в нуль, соответствует положение равновесия. В рассматриваемом 120
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
случае отыскание положений равновесия всегда приводится к отысканию максимума и минимума функции, зависящей только от одной переменной. Положим
U(q) = J Xdx+Ydy +Zdz = Jq dq,
где в первом интеграле для того, чтобы он совпал со вторым, нужно заменить величины л:, у, z их выражениями через q. Условие равновесия получится, если отыскивать те значения q, которые обращают в нуль производную от U по q, т. е. если искать максимум и минимум функции U. Если существует силовая функция U (х, у, г), то функция U(q) получится, очевидно, заменой величин л:, у, z их выражениями через q. В этом случае поверхность уровня, проходящая через положение равновесия Mi, касается в этой точке кривой. В дальнейшем, при помощи общего метода мы покажем, что действительным максимумам функции U (q) отвечают положения устойчивого равновесия. В виде упражнения (задача 7 в конце главы) мы укажем частный метод, позволяющий убедиться в справедливости этого предложения и основанный на том, что точка, предоставленная самой себе на кривой, стремится перемещаться по ней в сторону возрастания U.
II. Системы материальных точек
93. Система материальных точек. Если система состоит из свободных и независимых друг от друга точек, то для каждой из них может быть повторено все, что было сказано относительно совершенно свободной точки. Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы равнодействующие сил, действующих на каждую из точек, были равны нулю.
Та же теорема справедлива и тогда, когда на систему наложены связи, если каждую точку рассматривать как свободную, добавляя к приложенным к ней силам реакции связей.
Этой точки зрения мы будем придерживаться ниже в связи с теоремой о возможной работе.
Сейчас мы разделим все силы, приложенные к системе, на две категории: на силы внутренние и силы внешние. Мы покажем, что для равновесия необходимо, чтобы внешние силы удовлетворяли шести условиям, одинаковым для всех систем.
94. Силы внутренние и силы внешние. Шесть необходимых условий равновесия. Любую материальную систему, образованную телами твердыми, жидкими или газообразными, можно рассматривать, как составленную из большого числа материальных точек, подчиненных некоторым связям. Так, например, твердое тело есть совокупность материальных точек, расстояния между которыми должны ¦оставаться неизменными. Общие теоремы могут быть получены, если ГЛАВА V. РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ 121
написать уравнения равновесия для этих различных материальных точек и составить из них некоторые сочетания.
Внутренними силами системы называются силы взаимодействия между ее различными точками. По закону равенства действия и противодействия эти силы попарно равны и прямо противоположны. Например, если точка т' системы притягивает другую ее точку т с некоторой силой, то, наоборот, точка т притягивает точку т' с такой же силой, но противоположно направленной.
Силы, отличные от определяемых таким образом внутренних сил, называются внешними.
Пусть JC1, yv Z1, х2, уъ, z2.....хп, уп, Zn—-координаты различных точек системы, массы которых Ot1, от2, ..., отп. Если рассматривать какую-нибудь одну из этих точек с массой от и с координатами X, у, z, то все приложенные к ней силы можно разбить на две категории. К первой относятся все внутренние силы, действующие на от; проекции какой-нибудь из этих сил мы обозначим через Xi, Yi, Zi. Ко второй категории относятся все внешние силы, действующие на ту же точку; проекции какой-нибудь из этих сил мы обозначим через Xe, Ye, Ze. Точка от может рассматриваться как совершенно свободная при условии, что принимаются во внимание все действующие на нее силы как внешние, так и внутренние. Для того чтобы она находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая всех этих сил обращалась в нуль. Проектируя все силы на три оси, мы получим три уравнения равновесия
S^i+S Jfe=O1 2^+2^ = 0,
(і)
где знак 2 означает, что нужно взять сумму проекций всех внешних или внутренних сил, приложенных к точке от.
Допустим, что эти уравнения написаны для всех точек системы, и сложим почленно все уравнения, относящиеся к оси X. Получим
22^+22*е = о,
где знак означает, что сумма распространена на все силы,
действующие на различные точки системы. Но согласно закону равенства действия и противодействия все внутренние силы попарно равны и противоположны. Следовательно, 22-^1 их проекций на ось X равна нулю, и предыдущее уравнение принимает вид
