Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть а, ?, f — направляющие косинусы (относительно прямоугольных осей) касательной MT к траектории, проведенной в сторону
положительного отсчета s, а а', ?', f' — направляющие косинусы главной нормали, которая считается положительной от M к центру С главной кривизны. Пусть, наконец, MC = р есть радиус главной кривизны траектории.
По известным формулам Серое—Френе 3 имеем
da__a/_ ^l-lL
as р ' ds р ' ds р *
Далее, очевидно,
dx_dx ds_ ds dy_ds dz _ ds
Рис.34. dt ~~ dsW ~ a~dt ' Ш * ~dt' dt ~ ^ dt'
Дифференцируя еще раз по времени и замечая, что
da da ds a' ds di~Tsdt~~~^~dt' ' "'
получим для проекций ускорения
(Г-X _ O^s , O^ /ds dt2~ а di* ' р \dt) ' d2J _а d2s dt-
<Pz_ d% dt2 ~~ "" dt>-
_о , ?l
P df-~Г p \dt) '
+m-
Эти формулы легко интерпретируются. Отложим на касательной, принимая MT за положительное направление, отрезок MJt,
d-s
алгебраическое значение которого равно Л = а на нормали MN 1 ZdsN2
отрезок MJn, равный — . Тогда формулы показывают, что проекции ускорения на каждую из трех осей равны суммам проекций геометрических величин MJt и MJn. Следовательно, в пространстве ускорение MJ есть результирующая величин MJt и MJn, которые называются касательным и нормальным ускорениями. Проекция Jt ГЛАВА II. КИНЕМАТИКА 63
5 T
ускорения MJ на касательную MT после замены -j через v напишется так:
_d2s_dv dv ds_ 1 dv2
Jt~l?~~dt=cdsZt~~2'ds'
Проекция Jn на нормаль MC всегда положительна:
— J./r^a-—
-7"- P \dt) — p •
Ускорение MJ расположено, следовательно, в соприкасающейся плоскости и направлено в сторону вогнутости траектории.
Примеры. 1°. Если движение прямолинейно, то р равно бесконечности и нормальная составляющая обращается в нуль. Ускорение совпадает тогда с касательной составляющей. Наоборот, если нормальное ускорение везде нуль, то р обращается в бесконечность и траектория есть прямая линия.
2°. Если скорость постоянна по величине, т. е. если криволинейное движение является равномерным, то касательное ускорение равно нулю. Тогда ускорение направлено по главной нормали и изменяется обратно пропорционально радиусу кривизны. Так, если точка описывает окружность радиуса R с постоянной по величине скоростью v, то касательное ускорение равно нулю; ускорение J будет нормальным и равным v'-jR, т. е. постоянным по величине и направленным по радиусу. Наоборот, если в каком-нибудь движении касательное ускорение все время нуль, то скорость будет постоянной по величине и движение будет равномерным.
Применение векторных производных. Можно говорить, что вектор скорости MV движущейся точки M есть векторная производная по времени вектора ОМ, соединяющего неподвижную точку О с точкой М. Это вытекает из самого определения скорости.
Вектор ускорения MJ геометрически равен производной вектора Am, имеющего начало в неподвижной точке А и геометрически равного вектору скорости. Это вытекает из определения ускорения при помощи годографа.
II. Поступательное движение и вращение неизменяемой системы
43. Поступательное движение. Неизменяемой системой или твердым телом называется совокупность точек, неизменно связанных между собой.
Твердое тело движется поступательно, если оно перемещается таким образом, что все отрезки прямых, соединяющих попарно точки тела, остаются параллельными самим себе. Для этого, очевидно, достаточно, чтобы триэдр, получающийся от соединения какой-нибудь точки А тела (рис. 35) с тремя другими его точками В, С и D, не лежащими с Л в одной плоскости, перемещался параллельно самому себе.
Когда тело движется поступательно, все его точки имеют одинаковые скорости и наоборот. В самом деле, пусть A1 (X1, Уі, Z1) и A2 (х2, у2, Z2) — две произвольные точки тела. Так как отрезок. A1A2 перемещается параллельно самому себе, то его проекции 64
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
X2_X1, Уг — Уі> гг — zi на оси постоянны. Следовательно, их производные равны нулю и мы получаем:
dxi ~df
dx% ~dt '
dyt dt
dy а : dt '
dJi dt
dz-j : dt
(1)
Это показывает, что обе оборот, если все точки
точки имеют одинаковые скорости. Ha-тела имеют в каждый момент времени одинаковые скорости, то тело движется поступательно. В самом деле, если две точки A1 и A2 имеют одинаковые скорости, то будут справедливы уравнения (1), откуда после интегрирования увидим, что
X1-X2, у1-у2, Z1-Z2 постоянны, т. е.
что отрезок A1A2 перемещается параллельно самому себе. Общая скорость всех точек называется скоростью поступательного движения. Дифференцируя уравнения (1), непосредственно убеждаемся, что все точки тела при поступательном движении имеют в каждый момент времени одинаковые ускорения. Общее ускорение всех точек называется ускорением поступательного движения,
44. Вращение вокруг неподвижной оси. Угловая скорость. Геометрическое представление. Когда тело вращается вокруг неподвижной оси AB (рис. 36), каждая его точка M описывает окружность, перпендикулярную к оси, с центром Р, лежащим на оси. Скорость точки M направлена, следовательно, нормально к плоскости МАВ в сторону вращения. Дуги, описываемые двумя различными точками за одно и то же время, пропорциональны их расстояниям до оси. Скорости этих точек относятся, следовательно, как их расстояния до оси.
