Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
1°. Система векторов эквивалентна двум векторам, из которых один проходит через произвольно выбираемую точку. Следовательно, скорости точек тела Sn будут такими же, как если бы это тело совершало два вращения, ось одного из.которых проходит через точку, выбираемую произвольно (Шаль).
2°. Система векторов эквивалентна одному вектору м, проходящему через произвольную точку О, и паре с вектором момента OV0. Следовательно, скорости точек тела Sn будут такими же, как если бы это тело
совершало одно вращение От, ось которого проходит через произвольную точку О, и пару вращений с вектором момента OV0, т. е. поступательное движение со скоростью OV0 (рис. 45). Когда положение точки О меняется, вращение Om сохраняется неизменным, а поступательная скорость OV0 изменяется, но так, что произведение g = OV0 cos (ш, V0) остается постоянным.
Если DD' есть центральная ось системы векторов (D1, ш2, ..., <лп, то эта система эквивалентна одному-единственному вектору и> (вращению), направленному по DD', и паре с минимальным векторным моментом g (поступательному движению со скоростью g), направленным также по DD'. Скорости точек тела Sn будут такими же, как если бы оно совершало вращение <й и поступательное движение g в направлении этого вращения. Это движение, эквивалентное движению болта в неподвижной гайке, называется винтовым движением, а ось DD' — мгновенной винтовой осью.
49. Частные случаи. Отметим некоторые частные случаи, соответствующие различным исследованным случаям в теории векторов (п. 26). Если минимальный момент g равен нулю, то система заданных вращений эквивалентна одному-единственному вращению вокруг центральной оси. Если и> обращается в нуль, то система эквивалентна одному поступательному движению. Если ш и V0 одновременно равны нулю, то система вращений эквивалентна нулю: скорости всех точек тела Sn равны нулю.
/OJe
(О
О'
Л'
Рис. 45. 70
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
50. Геометрические следствия. Очевидно, что каждая теорема, установленная в главе I в теории скользящих векторов, может служить теоремой о вращениях и поступательных движениях, сообщаемых некоторому телу Sn, если векторы заменить вращениями, пары — поступательными движениями со скоростями, равными их векторам-моментам, и главный момент относительно точки M — скоростью, которою обладает эта точка, двигаясь вместе с телом. Теоремы геометрии о плоскостях и их фокусах, о сопряженных прямых, о прямых нулевого момента имеют простое истолкование. Так, например, если плоскость П неизменно связана с телом Sn при его движении, то фокусом плоскости II будет та ее точка, скорость которой перпендикулярна к плоскости, и т. д.
Тот факт, что произвольное число вращений и поступательных движений, приложенных к твердому телу, сообщают его различным точкам такие же скорости, как и винтовое движение, находит свое настоящее объяснение в теореме, согласно которой в наиболее общем движении твердого тела скорости в каждое мгновение будут такими же, как в винтовом движении. Это нам и предстоит доказать.
51. Распределение скоростей в движущемся твердом теле.
Отнесем движение к трем неподвижным в пространстве прямоугольным осям O1X1JI1Z1. Для определения положения тела введем три прямоугольные оси Oxyz, ориентированные так же, как и первые, и неразрывно связанные с телом (рис. 46). Достаточно знать движение этих осей, которое определяется координатами х0, у0, z0. подвижного начала и девятью направляющими косинусами подвижных осей относительно не-У подвижных, выраженными в
функции времени. Будем полагать, что эти девять направляющих косинусов даются следующей таблицей:
'D1
Рис. 46.
X У Z
Xl а ч а2
Уі P Pl h
Zl T Yi Ї2
Пусть M — точка тела, имеющая координаты х, у, z относительно подвижных осей и jc1, yt, Z1 относительно осей неподвижных. Числа je, у, г являются постоянными, так как точка M неразрывно связана с движущимися осями.
По формулам преобразования координат имеем: X1 = Xq —j— OiX —}— о^у -)- a.2z,
л = л +p*+plv +pa«.
= Z0 + ух -)- угу + I2Z. ГЛАВА II. КИНЕМАТИКА 71
Дифференцируя эти выражения по t, мы получим проекции скорости V точки M (рис. 46) на неподвижные оси:
V -dxI- dxO I V da I „ rfaI I „ daI
v°> - ~аГ - ~dt + * Чі + У ЧГ + 2 ~аГ •
V _ *У\ -аУо і х dV I v d^ I - dh, vV'- dt — ~df^x dt ^y~df + z~dF'
dt dt ' dt ' У dt ' dt '
Для простого истолкования этих формул найдем проекции Vx, Vy, Vz скорости V на подвижные оси. Очевидно, имеем
Va = OlAri-HVV+ 7^,,
Vy = OlVxl + Wyl + TiV2l.
V2 = a2VXi +V2Viti+ -!2Vz,
Вычислим правые части, заменяя в них Vav VUl, V2i полученными для них выражениями и замечая, что такие величины, как
da 0 d? dy
"w+Pw+iw--
равны нулю вследствие соотношений
a2+ P2+T2= 1. • • •
Далее, примем во внимание соотношения
аА> + PiP2+ TiT2 = 0, аа2 + PP2 + TT2 = О- aai+ PPi + TTi = о.
которые продифференцируем по t. Получим:
a2 dt + Рг dt + ^2 dt — Г1 dt + Pl dt + dt ) —Р'
Здесь обе части мы обозначаем соответственно через р, q, г. Окончательно получим:
