Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Аксиальные векторы. Вектор A1B1 является аксиальным, если представляемая им физическая величина симметрична не только относительно плоскостей, проходящих через A1B1, но и относительно плоскостей, перпендикулярных к A1B1, так что характер симметрии представляемой физической величины будет таким же, как у цилиндра вращения вокруг A1B1.
Определение аксиального вектора зависит обычнб от соглашения относительно положительного направления вращения или направлений, приписываемых некоторым циркуляциям. Например, векторный момент BG1 некоторого полярного скользящего вектора A1B1 относительно какой-нибудь точки В есть аксиальный вектор. Действительно, физическая величина, которую должен представлять вектор BG1, характеризуется: 1) плоскостью, проходящей через точку В и через ось вектора A1B1, 2) площадью треугольника BA1B1. Но оба эти элемента симметричны относительно плоскости BA1B1. Направление, приписываемое вектору BG1 относительно этой плоскости, зависит от соглашения о выборе положительного направления вращения. Этот вектор является, следовательно, аксиальным. Представление момента при помощи вектора обладает, таким образом, некоторым несовершенством, так как оно вводит, вследствие произвольности выбора положительного направления вращения, диссимметрию, которой не имеет представляемый объект. Можно избежать этой диссим-метрии, условившись, например, изображать момент полярного вектора A1B1 относительно точки В при помощи некоторого круга, описанного в плоскости BA1B1 с центром в точке В, причем радиус этого круга равен величине момента и на контуре круга при помощи стрелки указано направление, в котором точка, перемещаясь вдоль A1B1, вращается вокруг центра В.
Это представление поясняет симметрию момента, но оно менее удобно, чем обычное представление момента, с других точек зрения. Векторный момент пары полярных векторов есть также вектор аксиальный.
Легко показать, что векторный момент BrG' некоторого векторного момента BG1 относительно точки Br есть вектор полярный. Для этого достаточно установить, что вектор BrGr не зависит от какого бы то ни было выбора положительного направления вращения.
Эти положения имеют важное значение для физики. По поводу связанных с ними вопросов можно указать на мемуар Клейна, переведенный на французский язык Г. Падэ (Annales de ГЁсо1е Normale superieure, s?rie 3, т. VIII, 1891, стр. 87—193).
Скалярные величины первого и второго рода. Скаляром называют, обобщая уже встречавшееся заимствованное из теории кватернионов выражение, всякую величину, определяемую одним- ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
•51
единственным Числом, как, например, плотность, температуру. Но при этом могут представиться два случая:
а) Рассматриваемое число не зависит от направления осей координат. Мы будем говорить, что оно является скаляром первого рода.
б) Число, определяющее рассматриваемую величину, меняет знак при перемене направления осей. Такое число называется скаляром второго рода.
VIi. Другие геометрические образы, которые могут быть использованы в механике
35. Краткий обзор. Способ представления векторных величин, которого №ы до сих пор исключительно придерживались, очевидно, не является единственно возможным. Можно ставить в соответствие другим механическим величинам и другие геометрические элементы. Так, например, любой системе сил, приложенной к твердому телу, можно поставить в соответствие винты Болла.
Скользящий вектор, рассматриваемый как совокупность двух точек, взятых в определенном порядке, можно понимать как первое звено в ряде величин, образованных путем присоединения в определенном порядке не только точек, но и других простейших элементов пространства.
Э. Штуди *) занимался систематическим исследованием таких геометрических величин. Он ввел следующие величины.
1°. Крест, образованный совокупностью двух прямых, из которых одна находится на конечном расстоянии, а другая представляет собой пересечение плоскостей, перпендикулярных к первой, и вследствие этого находится в бесконечности.
2°. Биплан, представляющий собой систему двух не перпендикулярных между собой плоскостей, взятых в определенном порядке.
3°. Турникет — (moulinet), образованный точкой и плоскостью.
4°. Некоторые системы прямых, называемые моторами и импульсорами.
5°. Скользящие сферические векторы и т. д.
Мы ограничиваемся только перечислением, потому что нигде не воспользуемся этими понятиями, так как до сих пор они не нашли каких-либо важных приложений в механике. Мы отсылаем для их геометрического исследования либо к сочинению Штуди, либо к статье Люсьена Леви (Lucien Levy) во французском издании «l'Encyclopedie des Sciences mathematiques».
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что модуль R результирующего вектора нескольких сходящихся векторов P1, P2.....Pn определяется формулой
Я2 = IpI + 2 2 pip* cos p^p*'
где первая сумма распространена на все векторы, а вторая — на все их парные комбинации.
2. Для того чтобы система векторов была эквивалентна нулю, необходимо и достаточно, чтобы обращались в нуль их главные моменты относительно трех произвольных точек, не лежащих на одной прямой.
