Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть X, у, г — координаты движущейся точки. Проекции геометрической величины AIAI1 на оси координат будут Дд:, Ay, Az, и, следовательно, проекции величины MW, т. е. средней скорости, равны
Ax Ay Az At' At' At '
Если At стремится к нулю, то AIW стремится к MV. Следовательно, для проекций скорости в момент t имеем:
dx dy dz
Ж' dt' dt'
Допустим, что движение задано траекторией и выражением дуги M0M = Sb функции t. Так как отношение дуги AIAI1 к хорде AIAI1 стремится к единице, когда At стремится к нулю, то для абсолютного значения скорости получается
Рис. 32.
Iim
MM1
±
as
At dt'
Если провести в направлении положительных дуг касательную MT к траектории, то скорость будет направлена по MT или в противоположную сторону к зависимости от того, будет ли величина 60
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
ds
—t положительной или отрицательной. Следовательно, алгебраическое
ds
значение скорости, отсчитываемой в направлении MT, равно
Если скорость V постоянна, то криволинейное движение называют равномерным.
41. Вектор ускорения. Понятие ускорения для простейших случаев введено Галилеем.
Пусть MV и M1V1 — скорости движущейся точки в моменты t к t + kt (рис. 33, а).
Проведем через M отрезок MU, равный и параллельный M1V1, и пусть MH—геометрическая разность векторов MU и MV, т. е. вектор, который необходимо приложить к MV, чтобы получить MU.
Если вдоль MH отложить длину MI, равную , то вектор MI даст
среднее ускорение движущейся точки за промежуток времени М. Когда Дt стремится к нулю, этот вектор стремится к пределу MJ, который называется ускорением движущейся точки в момент t.
Ускорение есть, следовательно, полярный вектор, приложенный к движущейся точке.
Так как плоскость VMU переходит в пределе в соприкасающуюся плоскость, то ускорение MJ лежит в соприкасающейся плоскости.
Чтобы получить проекции ускорения на оси координат, заметим, что проекция скорости MV в момент t на какую-нибудь
dx
ось, например на ось Ох, равна , а скорость M1V1 или вектор MU
, і . . dx . .dx
имеет в момент г + Д? проекцию на ту же ось, равную -г~ ^^J'
Проекция вектора MH, равная разности проекций векторов MU и MV,
dx
будет, следовательно, Д . Поэтому проекции среднего ускорения мн
MI = -д^- равны
.dx , dy .dz
А —• Д —— А —
dt dt dt
U ' At ' At ' ГЛАВА II. КИНЕМАТИКА
5 T
Полагая Ы: стремящимся к нулю, получим для проекций ускорения MJ в момент t значения:
(Г- X сРу <Рг dt°- ' dt2 ' dP'
Годограф. Понятие ускорения можно легко свести к понятию скорости. Проведем через произвольную фиксированную точку А вектор Am, равный и параллельный скорости MV движущейся точки в момент t (рис. 33, б). Когда t изменяется, вектор Am также изменяется и его конец образует новую движущуюся точку, описывающую траекторию h, которая называется годографом. Скорость mj этой новой движущейся точки в каждый момент времени равна ускорению точки М. В самом деле, в момент t-\~M точка т занимает положение mv причем вектор Am1 равен и параллелен вектору M1V1 или MU. Поэтому вектор тт1 равен и параллелен вектору VU или MH. Средняя скорость точки т за
время Ы: есть вектор ті, направленный по тт1 и равный .
Эта средняя скорость ті равна, следовательно, и параллельна среднему ускорению MI точки М. Переходя к пределу, когда M стремится к нулю, мы видим, что скорость mj' точки т в момент t равна ускорению MJ точки M в тот же момент времени.
Пусть, например,
x = at* + bt + c, y = a'P + b't + c', z = a"fl + b"t+ с", (1)
где а, Ь, с, а', Ъ', с', а", Ь", с"— постоянные. Тогда траекторией будет парабола.
Проекции скорости будут
^f = 2at + b, dJ =,2a't + b', ~ = 2d't + b", (2)
а проекции ускорения
d"-x d"-y 0 , d"-z 0 „
w=2 a, = 2 а, ш = 2 а". (3)
Последние, как видно, постоянны. Следовательно, ускорение будет постоянным по величине и направлению. И, наоборот, если в каком-нибудь движении ускорение постоянно по величине и направлению, то это движение определяется уравнениями вида (1). Действительно, исходя из уравнений (3), последовательным интегрированием придем сначала к уравнениям (2), а затем к уравнениям (1). Такое движение будет подробно изучено дальше при рассмотрении движения тяжелого тела в пустоте.
Важно заметить, что если ускорение движения постоянно по величине и направлению, то и среднее ускорение за произвольный промежуток времени Дt будет иметь ту же самую постоянную величину и направление. Действительно, если уравнения (3) выполняются, то, иіітегрируя их, получаем уравнения (2), из которых для проекций среднего ускорения за время At получаем те же значения 2а, 2а', 2а", что и для проекций ускорения в момент t.
В этом примере годографом является прямая линия, движение по которой будет равномерным. 62
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
42. Касательное и нормальное ускорения (Гюйгенс). Рассмотрим какое-нибудь движение, заданное геометрически траекторией и выражением дуги M0M или s в функции времени, причем отсчет на этой дуге принимается положительным в каком-нибудь определенном направлении Al0S (рис. 34).
