Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
В частном случае, когда Ve равно нулю, скорость Vr равна скорости Va и обе касательные плоскости, определяемые — одна образующей MG и скоростью Va, а другая—образующей MG и скоростью Vr, по-прежнему совпадают.
Таким образом, общее движение твердого тела может быть представлено следующим способом, указанным Понселе: ГЛАВА II. КИНЕМАТИКА
75
Линейчатая поверхность, связанная с телом, движется по неподвижной линейчатой поверхности, которой она касается вдоль образующей и по которой она катится, скользя вдоль элой образующей.
Рассмотрим несколько частных случаев этих теорем.
55. Твердое тело с неподвижной точкой. Эту неподвижную точку можно принять за начало подвижных и неподвижных осей. Так как скорость точки О равна нулю, то скорости различных точек тела будут такими, как если бы оно вращалось вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку (Эйлер). Эта ось называется мгновенной осью вращения. Ось винтового движения совпадает с ней, но скольжение в этом винтовом движении отсутствует и остается только мгновенное вращение. Конечное движение тела получится, если заставить катиться конус С с вершиной в точке О, являющийся геометрическим местом мгновенных осей в теле, по конусу C1 с той же вершиной О, являющемуся геометрическим местом мгновенных осей в пространстве.
Точки тела, лежащие на сфере с центром в точке О, образуют сферическую фигуру неизменяемой формы, движущуюся по этой сфере. Конусы С и C1 с вершиной в точке О пересекают эту сферу по двум кривым с и с,, из которых первая неизменно связана с движущейся сферической фигурой, а вторая неподвижна на сфере. Движение сферической фигуры получится, если заставить кривую с, связанную с этой фигурой, катиться (без скольжения) по неподвижной кривой C1.
56. Тело перемещается параллельно неподвижной плоскости. В этом случае скорости различных точек тела параллельны нет которой неподвижной плоскости П и этот случай можно рассматривать как предельный, когда неподвижная точка О удаляется в бесконечность в направлении, перпендикулярном к плоскости П. Сфера с центром в О, проходящая через какую-нибудь определенную точку тела, переходит при этом в плоскость, параллельную плоскости П или, если угодно, в самую плоскость П. Все точки тела, находившиеся в некоторый момент времени на одинаковом расстоянии от этой плоскости, будут и в дальнейшем находиться на том же расстоянии от нее. Они образуют плоскую фигуру неизменяемой формы, движущуюся по неподвижной плоскости. Мгновенное винтовое движение приводится теперь к вращению, ось которого перпендикулярна плоскости П. Геометрическое место мгновенных осей образует в теле цилиндр С, а в пространстве цилиндр C1 с образующими, перпендикулярными плоскости П. Движение тела получится, если заставить катиться без скольжения цилиндр С по цилиндру C1. Точки тела, лежащие на плоскости И, образуют плоскую неизменяемую фигуру, движение которой вполне определяет движение всего тела. Скорости различных точек этой фигуры в какой-нибудь момент t будут такими же, как если бы фигура вращалась вокруг некоторой точки / своей плоскости. Эта точка /, являющаяся 76
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
точкой пересечения мгновенной оси с плоскостью П, называется мгновенным центром вращения плоской фигуры. Конечное движение получается качением кривой с, полученной при пересечении цилиндра С плоскостью П, по кривой C1, полученной при пересечении цилиндра C1 той же плоскостью.
57. Качение и верчение подвижной поверхности по неподвижной поверхности. Вообразим движущееся твердое тело, ограниченное некоторой неизменяемой поверхностью S, которая все время касается некоторой неподвижной поверхности S1 (рис. 49). В каждый момент t некоторая точка А
движущейся поверхности 5 находится в соприкосновении с некоторой точкой A1 неподвижной поверхности S1. Если в момент t скорость V0 точки А касания поверхности 5 с поверхностью S1 отлична от нуля, то этй скорость лежит в общей касательной плоскости обеих поверхностей. В самом деле, вообразим движущуюся точку, совпадающую в каждый момент с точкой соприкосновения обеих поверхностей. Абсолютная траектория C1 этой движущейся точки лежит на поверхности S1 и ее абсолютная скорость V1 направлена по касательной к C1; относительная траектория С лежит на поверхности S и относительная скорость V касается С; переносная скорость, вызванная движением S, есть скорость V0 точки А поверхности S1 находящейся в рассматриваемый момент в соприкосновении. Так как V1 есть результирующая векторов V и V0, то вектор V0, если он отличен от нуля, так же как и векторы V1 и V, лежит в плоскости, касательной к обеим поверхностям в точке А. Скорости различных точек движущегося тела будут такими же, как если бы тело совершало поступательное движение со скоростью V0 и вращение Аш вокруг некоторой оси, проходящей через точку А.
Говорят, что поверхность S катится и вертится по поверхности Si, если в каждый момент времени t скорость точки А касания этих поверхностей равна нулю. В этом случае V1 равно нулю и скорости различных точек тела будут такими, как если бы оно совершало вращение Аа> вокруг оси, проходящей через А. Следовательно, мгновенная винтовая ось проходит через А и скольжение не происходит. Геометрическое место осей Аи> образует в теле S нек торую линейчатую поверхность 2, а в абсолютном пространстве — некоторую линейчатую поверхность S1. Движение тела получится, если заставить катиться поверхность S по поверхности S1. Геометрическое место точек А на поверхности S есть кривая С пересечения поверхностей ShS; геометрическое место точек Ai на поверхности S1 есть кривая C1 пересечения поверхностей S1 и S1. Эти две кривые С и C1 ГЛАВА II. КИНЕМАТИКА
