Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Универсальность значения мультипликатора 2*-цикла в критической точке можно положить в основу алгоритма численного расчета постоянных, характеризующих фейгенбаумовскг.й переход. Пусть отображение задано в прежней форме (5.1). Перепишем соотношения (5.2), (5.5), (5.6) в виде
X1=U-X2t, X1 = (+(4,/ + 1)1'2 - !]/?, *з - V - X1,
Воспользуемся в первом приближении универсальностью р*. т.е. предположим, что Pi (и*) - Pi (н'):
-2х ,(д*) = ^X1(Ht)X1(Uj). (5.23)
Уравнения (5.22) и (5.23) представляют собой замкнутую систему, которую назовем ренормгруппой 1-го порядка:
X1=M--,!, „-Д--ДГІ. X7=H* -JtS. -V1 =-2дг,Л}. Из (5.24) находим
Hi = (7 + х/Г7 J/8 * 1 .>904. 6, = ЬнхіЬнг 1я=м-[2(9 + vf7 )]1 '2= 5,123, Р* =Pi(Ht)Piln')= I - ^ + \/І7 )l/J/4 •= -1.56155 ... (5.25)
Описанный алгоритм построения ренормгруппы можно обобщить на случай цикла периода 2*. Пусть (X1) будут элементами A-цикла:
*< • і = /Ч*л V) ("»od к). (5.26)
Неподвижные точки удовлетворяют уравнению
X1 = Ґк)(х,.н). (5.27)
Универсальность значения мультипликатора р* н критической точке н* приводит к соотношению
Ar
PkM= П ti(x,,H), fx^.H^bflbxl^.^. (5.2S)
Ml '
84 Пусть { jc}} будут элементами 2*-цикла. По аналогии і = /(*;.М) (mod 2*), 2 к
Р2к(Ц) = П fx(x',,fl).
/ = I
В критической точке и* имеем замкнутую систему из ЗА* + относительно {*/},{¦*/) и и*:
*/м = /(*/.М') (mod А:). = f(x'hp') (mod 2*),
П /,'(Xhtl*)= П /Мм').
/=і /=і
Определив из (5.30) значение и', с помощью (5.28) найдем универсальную константу Фейгенбаума:
6 = S2k = Эд*/Эд2 = (5.31)
С применением ЭВМ весьма просто рассчитать ц* и 62*. решая уравнения (5.30) и (5.31) для к = 1, 2, 3 и т.д. Уравнения ренормгруинм 3-го порядка (S-цикл) приводят к результатам, близким к точным [113). Для и * и б получаются значения (ср. с данными табл. 5.1)
ц* = 1,4011487..., 68 = 4,6753244...
Описанный алгоритм можно с успехом применить дня анализа отображения вида
x„+i = I-M-C P = 2,4,6,... (5.32)
Расчет м* и б для р= 4, 6 и 8, проведенный в [114] с использованием ре-нормгруппы 2-го порядка, дает результаты, представленные в табл. 5.2.
Как видно из табл. 5.2, с увеличением показателя степени р (5.32) постоянная б и значение параметра в критической точке заметно возрастают. Однако в литературе отсутствуют экспериментальные данные, свидетельствующие об увеличенной по сравнению со случаем квадратичного максимума скорости накопления бифуркационных значений параметра к критическому. Измеренное в физических экспериментах значение б лежит, как правило, в пределах 3 < б < 5, что свидетельствует в пользу квадратичного максимума приближенного одномерного отображения исследуемой системы.
Вырожденные случаи, когда в тейлоровском разложении функции fix, р) вблизи экстремума отсутствует квадратітчньїй член, видимо, не свойственны системам общего положения и поэтому HC типичны. Тем не менее при численном моделировании динамики систем с помощью одномерных отображений подобная ситуация может возникнуть. Примером служит результат работы[115] ,в которой анализируется отображение типа (5.32), где р является функцией независимого параметра. Естественно. что в подобном случае скорость схождения бифуркаций удвоения к критической точке будет непрерывно зависеть от этого параметра, что, •юобще говоря, иллюстрируется данными табл. 5.2.
Универсальные свойства эволюции с ростом параметра элементов 2*-циклов отображения (5.1), которые представляют собой реализацию
(5.29) I уравнений
(5.30)
85 Таблица 5.2
Универсальная константа, подобная дли различных значений степени отображения
/<*) м? «2 6*(*> 1)
1 1.5958 6,9992 7,284...
1 - цх6 1.6842 8.8071 9,926...
1-М*' 1.7366 10,3294 10,948
некоторого процесса в дискретном времени, естественно могут быть описаны на языке спектров, являющихся взаимно однозначным интегральным преобразованием временных зависимостей. Прн бифуркациях удвоения, когда 2*-цикл переходит в 2*+'-цикл, в спектре мощности процесса мягко рождаются субгармоники <о*+| = W0/2* + |, амплитуды которых с ростом параметра возрастают и к, моменту следующей бифуркации рождения 2 -цикла становятся максимальными, подчиняясь универсальному соотношению [115, 7]
|C(w* + I)|J/| C(Wtt2)I1 » 13 дБ, (5.33)
где C(cj/) - амплитуда спектра субгармоники cj0/2' в момент бифуркации. Таким образом, при фейгенбаумовском переходе в докритической области имеет место последовательное обогащение спектра субгармониками WCO0/2* (А- = 0, 1, 2.....т = 1, 2,... ), амплитуды которых подчиняются универсальному соотношению (5.33). В итоге в критической точке период 2*-цикла (А -* <*>) становится бесконечным, а спектр теоретически сплошным, представляющим собой некоторый пьедестал с выбросами на частотах шсо0/2*, амплитуда которых тем больше, чем меньше А и т.
Оказывается, что при фейгенбаумовском переходе универсален не только сам путь к хаосу, но и особенности поведения системы за критической точкой ц >ц*. Так, например, положительный ляпуновский характеристический показатель растет с превышением порога по закону [1171
