Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Интерес к задаче о бифуркациях странных аттракторов стимулирует дальнейшее развитие экспериментальных подходов и методов ее решения. Одним из них является метод расчета полного спектра ЛХП решения при изменении управляющих параметров. Точка бифуркации странного аттрактора при таком подходе - это негрубое состояние системы в момент прохождения одного из показателей спектра через нулевое значение в критической точке. Например, для некоторого р < уц сигнатура спектра ЛХП аттрактора была
"+" "О" "-"
т 1 W » •
В бифуркационной точке MasMi третий показатель спектра обращается в нуль, отражая негрубость режима:
"+", "О". "О". "-"....."-".
и с превышением м > Mi появляется грубый аттрактор с другой сигнатурой спектра ЛХП:
"+", "+", "О", "-",...,"-".
Переходы в хаосе сопровождаются изменениями размерности и с физической точки зрения соответствуют вовлечению в колебательный процесс новых степеней свободы. К сожалению, указанные последовательности бифуркаций сигнатуры спектра ЛХП весьма трудно диагностируются в численных экспериментах. Ввиду резкого замедления скорости сходимости ляпуновских показателей вблизи критической точки достоверно диагностируется лишь грубая ситуация, сопровождаемая "скачком'*: "+", "О", "-",...,"-" "+". "+", "О", ....."-".
4.7. Динамический хаос в присутствии флуктуаций
Любое движение реальных динамических систем происходит в присутствии шумов. Описывать движения в диссипативных системах без учета флуктуаций не корректно, так как рассеяние энергии неизбежно генерирует собственные шумы внутри самой системы. Поэтому в строгом смысле описание диссипативных систем с помощью детерминированных операторов эволюции не может являться полным. Тем не менее широкий класс устойчивых колебательных режимов автогенераторов допускает анализ с помощью детерминированных уравнений. Это возможно, если собственные флуктуации оказываются малыми и динамика системы позволяет пренебречь их влиянием.
73 Действительно, при движении на регулярном аттракторе (например, в случае устойчивых периодических автоколебаний) малые флуктуации затухают, не оказывая принципиального влияния на режим работы системы. Малые шумы в устойчивых регулярных режимах движения вызывают малые отклонения от детерминированного решения, которые требуют к себе внимания лишь в ряде специальных задач (разработка эталонов частоты и времени, чувствительность приемников сигналов и др.).
В то же время роль флуктуаций приобретает принципиальный характер вблизи точек бифуркаций, когда чисто динамическое описание может оказаться недостаточным. Неустойчивость системы вызывает ее повышенную чувствительность к действию флуктуаций, которые в итоге могут определять тип вновь установившегося режима после прохождения точки бифуркации. Таким образом, вопрос о влиянии флуктуаций даже в случае регулярных автоколебаний приобретает серьезное значение, если он рассматривается с учетом бифуркационных свойств системы.
Сложный характер движения системы в режиме странного аттрактора как внутренне неустойчивого множества, безусловно, требует детального анализа реакции системы на шумовое возмущение. Экспоненциальная неустойчивость траекторий в аттракторе сразу наводит на мысль, что роль флуктуаций может быть принципиальной. Первоначальная неопределенность в задании исходного состояния при наличии шумов неизбежна. А это значит, что требуется изучать эволюцию не начальной фазовой точки, а начального малого элемента фазового объема. В системах с перемешиванием детерминированный подход к решению этой задачи не конструктивен по сути цела даже в отсутствие возмущений. Требуется статистическое описание некоторого ансамбля в определенном смысле типичных траекторий.
Исследование влияний малых случайных возмущений динамических систем вне зависимости от конкретного типа детерминированного решения сводится к анализу траекторий стохастических дифференциальных уравнений
где К(ж, Г) - источник случайных сил, в общем случае зависящих от фазовых координат и времени. Eain интенсивность случайных воздействий мала и не зависит от координат состояния системы, (4Л) описывают аддитивное случайное возмущение и называются уравнениями Лапже-вена:
где ?(/) - источник флуктуаций, имеющий интенсивность D< 1. Статистика случайных сил определяется природой действующего шума (тепловой, дробовой, фликкерный внутренние шумы, шумы внешней среды) и является важной при решении конкретных задач. Для выяснения принципиальных эффектов, вызываемых флуктуационными возмущениями малой интенсивности, на первом этапе достаточно ограничиться предположениями о гауссовом распределении. Источник флуктуаций представ-74
X= F(x, ц) + К (X, t),
(4.31)
л = F (*./і) + 5(0,
(4.32) чисте я ^-коррелированным "белым" шумом с нулевым средним и интенсивное! ыо D < 1.
Bti шикает вопрос, какой из факторов - собственная детерминированная сложная динамика или внешний шум в большей степени определяет статистические свойства автостохастической системы? Несколько неожиданным оказывается то, что динамическая стохастичность может оказывать решающее влияние на статистические свойства системы, находящейся под действием белого шума. Именно динамическая стохастичность может к итоге определять временное поведение системы при малых интенсив-постях шума. Такими свойствами обладают системы с гиперболическими аттракторами. Малые случайные возмущения динамической системы с гиперболическими свойствами приводят к малым изменениям ее статистических характеристик. Динамическая стохастичность оказывается сильнее стохастичности, добавляемой шумами малой интенсивности [90 92]. На примере У-систем Аносова для гиперболических систем обоснован предельный переход статистических характеристик возмущенной системы в статистические характеристики детерминированной системы при стремлении интенсивности воздействия к нулю.
