Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
В качестве количественной меры степени упорядоченности движения системы автором [96] вводится определенным способом нормированная на энергию энтропия, уменьшение которой при изменении параметров трактуется как критерий самоорганизации системы ("S-теорема" Кли-монтоиича [96-98]). Однако здесь остается не до конца понятным, как непротиворечивым образом ввести количественно энергию диссипатпв-іюй системы? От этого зависит корректность определения нормированной энтропии и все последующие утверждения по поводу количественных оценок степени порядка (беспорядка), а также направлении пути самоорганизации в пространстве управляющих параметров. Указанная проблема в настоящее время является безусловно, одной из важнейших в вопросах выявления количественных закономерностей процессов самоорганизации.
В заключение отметим, что приведенные здесь соображения и методы исследования влияния шумов на динамику нелинейных диссипативных систем касались дифференциальных динамических систем. Все описанные результаты в равной степени имеют отношение и к дискретным динамическим системам, для которых определены как стохастические дифференциальные уравнения, уравнения Ланжевена, так и уравнения Фоккера -Планка. Г Jl Л U А 5
МЕХАНИЗМЫ РАЗВИТИЯ
И КРИТЕРИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СТОХАСТИЧНОСТИ
5.1.0 возникновении динамического хаоса
Стохастичность в детерминированных системах реализуется в соответствии с определенными закономерностями в последовательностях бифуркаций регулярных движений, которые будем называть бифуркационными механизмами рождения хаотических аттрактов. Процессу мягкого возникновения турбулентности в сплошных средах, как выяснилось сравнительно недавно, предшествует появление режима маломерного хаоса, что стимулирует дальнейшие исследования проблемы перехода к стохастичности в конечномерных моделях [99-103|. С математической точки зрения переход от регулярных к стохастическим режимам в общем случае рассматривается как переход из класса динамических систем Морса Смеила с конечным числом грубых периодических и стационарных аттракторов в класс систем с гиперболическими uiiu квазигиперболическими свойствами, характеризующихся наличием счетного числа периодических движений и континуума устойчивых по Пуассону, но не устойчивых и смысле Ляпунова траекторий [9, 20, 41]*). Неустойчивые траектории могут заполнять все фазовое пространство динамической системы, например гиперболические К-снстсмы Д.В. Аносова с максимально неустойчивым поведением [80]. Однако для широкого класса систем с не столь резко выраженной неустойчивостью гиперболические траектории заполняют не все фазовое пространство, которое может содержать также множество устойчивых предельных циклов сколь угодно больших периодов с узкими областями притяжения. Квазигипсрболическис системы наиболее часто встречаются в радиофизике.
Рождение нетривиального гиперболического подмножества траекторий при детерминированном преобразовании можно проиллюстрировать па примере "подковы Смейла" [81, 9]. Рассмотрим отображение единичного квадрата S плоскости в себя, которое осуществляется, как показано на рис. 5.1«, б. Образ квадрата S под действием преобразования P растягива-
Подобный переход может реалшонаться и н кпаэигиперболическич системах за счет бифуркаций аттрактором.
78 ется в вертикальном направлении, сжимается в горизонтальном и, складі, іваясь в виде подковы, накладывается на прообраз S. Р.сли проитери-оова гь отображенне S =P(S) к раз, то при к -*°° мы получим счетное число вертикальных бесконечно узких полос, наложенных на счетное число горизонтальных бесконечно узких полос. Их пересечения дадут бесконечное число точек, tie покидающих единичного квадрата. Для этих точек строго доказано существование бесконечного числа л-циклов отображения и непериодических траекторий. При конечной точности задания координат точки, принадлежащей указанному множеству, становится невозможным предсказание ее эволюции и естественным является вероятностное описание.
Явления, подобные рассмотренным на примере модельного отображения СмейJia1 наблюдаются в реальных потоковых системах, приводя к рождению квазиаттракторов. Рассмотрим некоторую дифференциальную систему в Я\ для которой определено двумерное отображение на плоскости S, содержащее седловую точку О как образ соответствующего неустойчивого цикла Г. Пусть устойчивая Wq и неустойчивая W" сепаратрисы точки О, являющиеся линиями пересечения с S соответствующих многообразий Up и W", образуют в отображении грубую гомоклиническую структуру, как показано на рис. 5.1«?. Элемент плоскости (1) вдоль устойчивой сепаратрисы сжимается (2), а вдоль неустойчивой - растягивается (J), образуя в итоге подкову (4), имеющую области пересечения с прообразом (1). Для этих областей, подобно подкове Смейла, можно доказать существование счетного множества седловых циклов и континуума гомоклинических траекторий, двоякоасимптотических к ним. Картина рис. 5.Ie в окрестности точки О является структурно устойчивой по отношению к возмущениям потока и поясняет возникновение квазиаттрактора Смейла.
