Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
2. Существует такое г* > S1, что для значений j > j* система не имеет притягивающего тора Tj (а), разрушение которого осуществляется одним из трех возможных способов:
»3 A. Устойчивый предельный никл Г* на T2 (р) при s = s* теряет устойчивость в результате одной из типичных бифуркаций (см. гл. 3).
B. У седлового периодического движения Г" возникает негрубая гомоклиническая кривая.
C. Устойчивый и неустойчивый циклы на торс при s - а' сливаются, образуя периодическое движение типа седло-узел, и исчезают, а тор при этом негладкий.
Разрушение тора, осуществляющееся в результате указанных в теореме бифуркаций, еще не гарантирует появления режима динами>іеской стохастичности. Однако если выполнены некоторые дополнительные условия, то при разрушении тора могут возникать квазиаттракторы.
Обратимся к рис. 5.4, на котором качественно изображена бифуркационная диаграмма на плоскости двух параметров р (. /j 2 Для окрестности некоторой произвольной резонансной области, соответствующей грубой структуре на торе, и указаны направления движения, реализующие ситуации А, В, С п. 2 теоремы. Резонансный "клюв" опирается на бифуркационную точку А/ коразмерности 2. принадлежащую линии бифуркации рождения тора /0, и образован двумя бифуркационными линиями / ( обращения мультипликатора устойчивого цикла Г+ в +1 (седло-узловая бифуркация слияния и исчезновения циклов Г+ и Г").
При движении по направлению PA на линии I2 цикл Г+ теряет устойчивость и T2 разрушается. Здесь возможно несколько случаев. Если на линии I2 р - -1, то не исключена последовательность удвоений Фейгенбаума и рождение квазиаттрактора Смейла - Фейгенбаума. Если на линии I2 на единичный круг выходит пара комплексных мультипликаторов цикла Г+, то рождается новый двумерный тор и вновь применима теорема о разрушении. На линии рождения тора из цикла Г+ в точках сильных реэонан-сов могут реалиэовываться бифуркации утроения [pI>2 = ехр(/ • 2їт/3)] и учетверения (Pi ,2 = ехр(/я/2)1 периода [136, 137].
Если двигаться в направлении PB, то при пересечении бифуркационной линии I3 возникает негрубая гомоклиническая кривая (неустойчивое многообразие цикла Г" касается устойчивого). Top T2 при этом разрушается, но устойчивый цикл Г+ не исчезает. Выше линии I3 по направлению PB возникает нетривиальное гиперболическое подмножество траекторий, которое, однако, не является аттрактором. Притягивающим режимом здесь остается устойчивый цикл Г+, и возможен лишь метастабильный
ttji
А
Г и с S.4. Возможные пугн разрушения двумерного тора на плоское-ги параметров р,, р,
94 хаос как длительный переходный процесс. Странный аттрактор возникает только в сгучас исчезновения Г", если, например, сдвинуться по нан-.явлению PB' и пересечь линию /1 .
Третий случай движения но кривой PC приводит к слиянию и исчезновению на линии / j периодического движения типа седло-узел, не имеющего грубой гомоклиники (тор в бифуркационной точке негладкий) . Осуществляется переход к стохастичности через перемежаемость и возникает так называемый "тор-аттрактор" [104]. Если движение осуществляется но кривой PC' в область ниже линии /кр на рис. 5.4,
P и с. 5.Ь. Возможные случаи отображения кольца на плоскости внутгь себя
характеризующей разрушение тора через потерю гладкости, то фиксируется переход от резонансных биений к эргодическим, т.е. тор сохраняется, оставаясь регулярным аттрактором.
Экспериментальный и численный анализы проблемы разрушения двумерного тора требуют минимум двупараметрического анализа ввиду го-го, что явление синхронизации (резонанса) на торе представляет собой бифуркацию коразмерности 2 и на плоскости двух управляющих параметров характеризуется конкретной точкой (точка Ai на рис. 5.4). Подобные явления в случае общего положения не могут исследоваться при иднопараметрическом подходе. Традиционный для физики путь изучения поведения системы при вариации лишь одного параметра в задачах подобного типа приводит, как это ни парадоксально, лишь к усложнению наблюдаемой картины.
Фазовый поток в окрестности двумерного тора в общем случае порождает изоморфное диссипативное двумерное отображение некоторого кольца. Пусть кольцо G преобразуется строго внутрь себя так, что область G переходит в область G, как показано на рис. 5.5. Можно указать общие условия, при которых внутри кольца будет существовать замкнутая кривая Г, преобразующаяся в себя гак, что на ней определяется некоторое отображение, гомеоморфное отображению окружности:
где ?,- - параметры отображения.
При некоторых условиях отображение кольца в кольцо может иметь довольно сложный вид. Сложная структура возникает, например, в случае, если после некоторого числа преобразований обчисть G переходит в область G, как это показано на рис. 5.5 б. Возникающее при этом отоб-
а
6
Vn+ I =<l4<Ai,0i.....?m)-
(5.44)
95 ражение схолію с подковой Смейла. Наличие взаимопересечений областей о н с свидетельствует о существовали бесконечного числа различных кратных седловых неподвижных точек и о сложной структуре точечного отображения [II, 138, 139]. В поперечном сечении предельное множество в отображении будет иметь структуру типа канторовой. Вспомогательное отображение замкнутой кривой Г в себя становится при этом не взаимно однозначным. Если исследовать отображение (5.44), то канторовость структуры учитываться не будет.
