Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Сходимость последовательности бифуркационных значений м* к и* характеризуется отношением
sjt - д*/д*+1 = (Mt+ і -Pkh'(?k+2 - Mah)- (5-7)
С ростом к отношение (5.7) в пределах разумно задаваемой точности перестает зависеть от к и сходится к константе
й = Iim Sk = 4,669201 ... (5.8)
* - -
6. B.C. Анишснко
81 Г и с. 5... Процссг дробления масштабов ам плиту л циклов при удвоениях Фейгенбаума
Разность ju* - ju* убывает с ростом к но закону геометрической прогрессии со знаменателем
ц' -Hk= AS-к, (5.9)
где Л = 0,724 - неуниверсальная константа.котрая зависит от кон-/tO , /? /Г к ре !'ного вида функции /(х, ц).
Если численно построить зависимость усюйчивых неподвижных тичек (элементов А-циклов отображения) от параметра н> то получим результат. качественно изображенный на рис. 5.2. который иллюстрирует наличие еше одной универсальной константы, характеризующей закономерность в процессе дробления масшга-юв амплитуд.
Точка х0 при M=Mo расщепляется на две Jr1 и х-,, затем, при прохождении параметром м значения M=Mi,?! и Xi расщепляются на две каждая, и т.д. Процесс дробления масштабов с ростом ju продолжается и демонстрирует универсальные свойства, заключающиеся в том, что
a= Iim (єк/є*-гі) = —2,5029 ... (5.10)
к - •>
Из простых расчетов, которые можно провести с использованием карманного микрокалькулятора, следует, что каскаду бифуркаций удвоения периода присуши две универсальные количественные закономерности. Первая характеризует скорость схождения бифуркационных значений параметра рк к м* и называется универсальной константой Фейгенбаума & (5.8). Вторая отражает закономерность в процессе дробления масштабов и называется универсальным масштабным MuoxurejieM а (5 .10).
Структуру и логику, вообще говоря, сложной теорил универсальности Фейгенбаума можно проиллюстрировать на основе приближенного анализа, который позволит установить наличие еще одной универсальной константы. Следуя результатам [111, 112, 7, 12], рассмотрим схему приближенного построения ренормгрупп, лежащих в основе строгой теории [106 - 110]. Запишем дважды примененное отображение (51)
=f[f(xn,H)] = ju-ju2+2jux*-xJ (5.11)
и пренебрежем В (5.11) х? в силу условия IxnI < 1 (в этом и состоит приближенность анализа!). Произведем замену переменных (ренормнруем переменную хп)
A-' = -2 jux. (5.12)
Отображение (5.11) запишем в форме исходного (5.1), но справедливого для ренормированных элементов 2-цикла:
х'п+г = ju(,)-(x;,)'. н(1) = 2juJui — 1) = *(м). (5.13)
82 Проведя указанную процедуру ренормировки к раз, получим (штрихи V .х- в дальнейшем опускаем)
хя*7* = иік)=*(к\ц). (5.14)
Отображение (5.14) описывает ренормированный 2-цикл и по форме записи совпадает с видом (5.1). Но для (5.1) потеря устойчивости і циклом происходит при ц0 = 0,75. Значит, потеря устойчивости 2*-цик-лом имеет место для значений цк, удовлетворяющих уравнению
= 0,75. (5.15)
Бесконечная последовательность цк (к = I, 2, 3, ... ) сходится к критической точке ц *, которая есть неподвижная точка отображения <р(ц):
ц* = >f>(M') * 2(р')201» - 1). ц- =(1 +>/3)12. (5.16)
Цля больших значений к цк близки к ц' и можно разложить <fi(u) в ряд Тейлора в окрестности критической точки:
Uk * *00 + ?>>*)(/1*+, - и*), к > 1. (5.17)
Из (5.17) получаем
. _ Нк+\Ь-Нк , »к*і -Цк
ц = —:—;— , S = <рн(ц*) =--. (э.18)
о - 1 Цк*2 -Ик+1
^ІЛя исследуемого нами отображения <fi(p) задается соотношением (5.13), откуда S = 4 + у/З.
Таким образом, приближенная процедура ренормировки позволила в явном виде получить выражение (5.18) для /.'и 5. При построении ренор-мчрованного уравнения (5.14) замена масштаба переменной х осуществлялась в соответствии с (5.12). В критической точке и близко к ней масштаб г>еременной таким образом изменился в а раз:
а = -2ц* = -(1 +v/3). (5.19)
Параметр а и есть универсальный масштабный множитель.
Поскольку в критической точке и =ц' ренормированное уравнение {.5.14) имеет для любого из циклов периода 2* один и тот же вид, совпадающий по форме с (5.1),
Хн*2к = -*«' (5-2°)
то в критической точке существует бесконечное множество циклов периода 2*, которые неустойчивы и имеют одинаковое значение мультипликатора
р(ц*) = р* = 1-1(1 +4ц*)1'2] * -!,54. (5.21)
Таким образом, закономерность Фейгенбаума характеризуется еще одним универсальным количественным параметром - значением мультипликатора 2*-цикла (к > I) в критической точке: р* = - 1.54. Этим можно воспользоваться в численных экспериментах при построении линий критических значений параметров [12].
Принципиальные выводы, полученные выше с использованием приближенной процедуры ренормировки, подтверждаются строгой теорией
(,* 83 Таблица S.l
Сравнение точных значений констант квадратичного отображения с полученными приближенно
Константа
Значения
Константа
точные приближенные I
Значення
приближенные
4,6692011... -•І.50291...
5,73 2.73
P' и*
-!.60119... 1,4011551...
-1,54 1.37
и численными расчетами. Следствием приближений, использованных при формулировке уравнения (5.14), является лишь то, что количественные значения универсальных констант 5, а и р*, а также неуниверсальной константы н*. определены с погрешностью, что можно видеть из табл. S.l.
