Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Совокупность характеристик хаотического режима, индуцированного действием внешних флуктуаций (сплошной характерный спектр, экспоненциальное спадание корреляций, наличие положительного показателя в
272 1.4
1,2 1,0 0,8
Чг
. -W... «; • • її і • • *
• •
. л-
, л
Яъ
•• • • "Л ••
"1,0
"0,5
Рис. 13.17. а - Отображение системы (13.16) на фазовой плоскости для D- 0 (точки Qi -Q«) HD = 0,01 (хаотическое множество), б - Соответствующие спектры мощности процессов
спектре ЛХП и общий вид хаотического аттрактора в фазовом пространстве), подтверждает факт рождения тор-хаоса, индуцированного внешним шумом. Для иллюстрации сказанного на рис. 13.17 представлены фазовые портреты системы (13.16) и соответствующие спектры мощности, отвечающие устойчивому циклу (D = 0) и тор-аттрактору (D = 0,01). Сравнение результатов с данными рис. 13.10 не оставляет сомнения в том, что под действием внешних шумов в системе реализуется хаотический режим, эквивалентный тор-хаосу.
Объяснение наблюдаемого явления достаточно простое. Выше линии Ih инвариантная кривая разрушается, однако (в отсутствие внешних флуктуаций) существует устойчивый 5-цикл отображения, т.е. регулярный аттрактор. Вместе С ним сосуществует непритягивающая гомоклиническая структура, образовавшаяся за счет пересечения многообразий седяового цикла. Задание произвольных начальных условий за счет существования гомоклиники вызывает длительный переходный процесс выхода на регулярный аттрактор, отмечавшийся и ранее в ряде экспериментов и названный метастабилъной стсхастичностью [1]. Шумовое возмущение при-
273 водит к тому, что в эксперименте время переходного процесса стремится к бесконечности. Фазовая траектория "блуждает" в области гомоклинической структуры, проявляя ее геометрию в фазовом пространстве. Эта экспоненциально неустойчивая структура под действием шума становится как бы притягивающей и единственным "аттрактором", так как устойчивый цикл уже реализоваться не может.
Представленные результаты отражают принципиальные явления общего характера и свидетельствуют о том, что регулярные аттракторы, сосуществующие вместе с грубыми непритягивающими гомоклиническими траекториями, в экспериментах не могут реализоваться. Под действием флуктуаций сколь угодно малой интенсивности реально будут наблюдаться хаотические режимы колебаний, по своим характеристикам не отличающиеся от режимов динамической стохастичности*).
В тех случаях когда прямые расчеты гомоклинических точек по ка-ким-либо причинам затруднительны, но обоснованно предполагается их существование, индуцированная шумом экспоненциальная неустойчивость системы является экспериментальным критерием диагностики структуры ее фазовых траекторий [257]. В частности, экспериментальные и численные исследования динамики неавтономного генератора в областях резо-напсов при действии внешнего шума дали результаты, качественно сходные с приведенными выше. Можно считать эти данные следствием грубой гомоклнники седловых циклов на резонансном торе, существование которой установлено теоретически.
Рассмотрим эволюцию одномерных законов распределения при переходе к тор-хаосу на примере неавтономного генератора, учитывая возможность проведения как численных, так и физических экспериментов. Исследуем процесс формирования тор-аттрактора в системе (12.1), двигаясь в направлении D бифуркационной диаграммы рис. 12.7. Рассчитанные в характерных точках плоскости параметров одномерные плотности распределения вероятностей (функции распределения) р[х) представлены на рис. 13.18. Исходным режимом цепочки бифуркаций является устойчивый предельный цикл с распределением р (*),аппроксимируемым законом (11.8). Мягкое рождение устойчивого двумерного тора сопровождается перестройкой распределения. Моды распределения смещаются с ростом параметра m от краев к центру (см. рис. 13.18а, б), функция распределения р (х) приобретает специфическую для двухчастотных колебаний форму. Эволюция двумерного гладкого тора приводит в итоге к формированию унимодального распределения />(*) (рис. 13.18в), характерного дня биений в режиме интенсивной модуляции, когда амплитуды несущей частоты и частоты модуляции соизмеримы по величине. Дальнейшее увеличение параметра m вызывает эффект потери падкости тором. В распределении р(х) возникают многочисленные экстремумы, форма р(х) становится достатопно сложной (см. рис. 13.18г). Однако в дальнейшем при образовании развитого тор-хаоса вновь формируется более гладкое, близкое к унимодальному, распределение, допускающее теорети-
Можно гїолаіїть, что за счет появлення гомоклинических структур резонансных циклов на маломерных торах в экспериментах реализация перехода к хаосу но сценарию Ландау - Хопфа практически исключается.
274 1,3 1,0 0,5
1,5 1,0
1,0
0,5
а P< т . 0,10
- 1,5
и 1,0 0,5
-1 0 1
б т - 0,15 1»5
- 11 1,0
" ( А ^ Zs
-1 0 і
- В т - 0,25 (^25
Ґ А >1 .
т - 0,45
-1 0 1
т =0,65
-1 0 1
т -0,65
-1
X
2,55
3,00 X
Ри с. 13.18. Одномерные плотности распределения вероятностей р(х) в неавтономном генераторе при движении в направлении D диаграммы рис. 12.7 (расчет на ЭВМ)
