Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Прямой путь наращивания числа генераторов в цепочке имеет границы, обусловленные техническими трудностями (низкочастотный парциальный іенератор - относительно сложное радиоустройство). Более эффектив-
289 ное решение предложено нами в [263]. Вместо / генераторов для моделирования процессов в однонаправленной цепочке достаточно одного (!) генератора.
На ленту магнитофона с низким уровнем шумов записывается сигнал с выхода генератора. Запись по времени должна превышать длительность переходных процессов и быть достаточной для регистрации спектров и фазовых портретов колебаний. Затем эта кассета перекладывается во второй магнитофон и оба одновременно включаются. Первый теперь записывает сигнал с выхода неавтономного генератора, возбуждаемого сигналом записи со второго магнитофона. Имитируется процесс автоколебаний в цепочке из Двух связанных генераторов. Степень связи регулируется уровнем воспроизведения сигнала магнитофоном на входе.
Последовательно перекладывая кассеты с записывающего на воспроизводящий магнитофоны, можно проследить эволюцию режимов вдоль цепочки генераторов. Ограничение числа / в такой "йепочке" переключений связано только с шумами магнитофонной записи и воспроизведения, что дает возможность имитации цепочек с / > 10. При этом отпадает необходимость кропотливой регулировки системы с целью обеспечения идентичности парциальных генераторов.
Эксперименты, проведенные указанным методом, подтвердили, что основные эффекты, зарегистрированные при исследованиях на реальной цепочке связанных генераторов, сохраняются с увеличением / > 10.
Перейдем к теоретическому описанию динамических эффектов в цепочке. В парциальном генераторе в заданной области параметров т и g реализуется переход к хаосу через мягкую последовательность удвоений периода. Как показано в гл. 8, данный механизм перехода при малых превышениях над порогом допускает модельное описание одномерным отображением типа квадратичной параболы. Для теоретического описания наблюдаемых в цепочке при отіюсительно малой степени неравновесности явлений можно рассмотреть модельную систему в виде однонаправленно связанных отображений типа
х,(п + 1) = IKxj(Tf) - 2xj(n) + ух.(и + 1), (14.4)
где *о(") "О, / - 1, 2, 3.....м — дискретное время, К > 0 - аналог параметра неравновеспости цепочки т, у Є [0,1 ] - коэффициент связи.
Динамика модели (14.4) теоретически исследована в [262]. Рассмотрим основные результаты.
Режиму пространственно однородных колебаний в (14.4) отвечает условиеXj_ і -х-,, которому соответствует отображение
(1 —у)х(п + 1) в IKx(H)-Ix7(I).
Заменой Ґ = A'/ll -7), у~х!( 1 -у) последнее отображение приводится к отображению Фейгенбаума
у(п + 1) = 2К'у(п) - 2у* (я) (14.5)
с критической г.ічкой рождения UTvpdKTOpaA'"- 1,7847. Полагая К' Ж'*, можно найти коэффициент связи у. при котором пространственно одно--юдный хаотический режим усгойїив Условие устойчивости имеет вид
1п(!-т)+ !*'<! - гГ1 -К'* і" < О T1 = In Ц In 5. (14.6)
290 Таким образом, при Ґ > Х''*и 0 < 7 < 1 пространственно однородный режим возможен и устойчив. Из условия (14.6) следует, что для реализации режима хаотической синхронизации связь не должна быть слишком малой, так как в последнем случае парциальные ячейки "среды" становятся практически независимыми.
Пространственным бифуркационным переходам, ревизующимся при относительно малых Rm (рис. 14.6), соответствует эволюция неподвижных точек индивидуального отображения вдоль цепочки. Пусть в первом генераторе реализуется режим 1-тактных колебаний периода T0. Ему соответствует неподвижная точка индивидуального отображения периода 1, устойчивая для области значений 0,5 <К < 1,5. Положив х/(п + І) « -Xf(n), из (14.4) находим одномерное отображение, описывающее неоднородный режим из неподвижных точек,
Xi = 2Kxf - Hxf )2 + ух,-..,. (14.7)
Вдоль цепочки при /' •* <* устанавливается пространственно однородный режим, которому отвечает неподвижная точка*0 =0,5 • (1 - у) - К, устойчивая при условии I 2К + 4.x® | <1, / = 1,2,3,... Таким образом, при связи больше критической (> > >кР 2 0,5 - А") реализуется простейший режим пространственной синхронизации (1-тактная неподвижная точка). Если же уменьшить связь (у < тк р) , то при некотором / = / * 1-тактная точка становится неустойчивой. При этом, в силу квадратичности отображения, режим T0 в цепочке сменяется 21T0 - периодическим режимом, где / = 1,2, 3,... зависит от параметров. Если связь мала, то первым переходом вдоль цепочки будет удвоение периода. Аналогичные рассуждения можно теперь провести дня / = /* и, повторив расчеты, найти условия существования и устойчивости режима синхронизации tu частоте (27-оГ1 и т.д.
Отметим одно принципиально важное .ця систем в виде цепочек связанных отображений Фейгенбаума обстоятельство. Если параметры системы выбрать такими, что пространственная синхронизация в режиме регулярных колебаний не реализуется, то число пространственных удвоений периода по пути к режиму хаотической синхронизации будет строго конечным в отличие от бесконечной серии удвоений в индивидуальном отображении. Это можно показать аналитически с использованием метода ренормгруппы, что и сделано в [261]. Как следует из теоретического анализа, после каждой бифуркации удвоения эффективная связь между генераторами возрастает вдвое. Вследствие этого всегда найдется такое /', что для / < /' в генераторах будут устанавливаться режимы регулярных колебаний I1T0,1 = 1, 2. 3, . . . , а в (/' + 1)-м генераторе реализуется ленточный аттрактор CA і, которому предшествует регулярный многотакт-иый цикл периода 2'Т0 в /' -м генераторе.
