Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
260 13.3. Закономерности в переходах к хаосу
через режим квазипериодических колебаний с тремя независимыми частотами
Исследование проблемы разрушения двухчастотных колебаний расширило представление о переходах к хаосу в диссипативных многомерных системах, приблизив нас к пониманию механизмов зарождения развитой турбулентности сплошной распределенной среды. Этому способствовали строгие результаты качественной теории динамических систем. Однако эффекты, регистрируемые при разрушении двумерного тора, не исчерпывают всего многообразия критических явлений, наблюдаемых экспериментально. Примером служит переход к хаосу через режим биений с тремя базисными частотами.
Вопрос об эволюции трехчастотных колебаний при изменении параметров системы, в математической постановке сводящийся к изучению поведения фазовых траекторий в окрестности трехмерного тора (7*), является важным, но, к сожалению, мало изученным. Этому есть объективные причины. Подход к проблеме разрушения двумерного тора сводится к качественному изучению критических явлений применительно к грубой структуре на торе в виде синхронных циклов и, следовательно, может с успехом базироваться на теории устойчивости периодических режимов колебаний. Решение же вопроса о нелинейных Критических явлениях на трехмерном торе требует ипользования теории устойчивости квазипе-риодических режимов колебаний. Здесь основная трудность: указанная теория пока что не создана в виде, удобном для приложений.
Данных по исследованию динамики систем с трехчаототными колебаниями чрезвычайно мало, они касаются различных конкретных систем, не объединены общетеоретическими представлениями и носят в основном чисто эмпирический характер. Экспериментальные исследования закономерностей эволюции трехчастотных колебаний, базирующиеся на некоторых качественных аналогиях или, чаше всего, на интуиции исследователей, сейчас наиболее эффективный, если не единственный, путь изучения указанной проблемы. Можно лишь надеяться, что четкие закономерности общего плана, уверенно установленные в различных модельных и физических экспериментах, послужат хорошим основанием для построения соответствующей теории.
Рассмотрим критические явления при периодической модуляции двухчастотных колебаний. При некоторых ограничениях доказана структурная неустойчивость режима трехчастотных колебаний (трехмерного тора Г3), порождающая в окрестности T* режим странного аттрактора [130]. Но в общем случае трехчастотные колебания, несомненно, возможны, о чем свидетельствуют численные [131, 136, 254] и физические эксперименты [134]. Воспользуемся соображениями аналогии. Для реализации режима биений с двумя частотами необходимо и достаточно периодического слабого возмущения автономной системы с грубым устойчивым предельным циклом. Обеспечить режим устойчивых колебаний с тремя частотами, видимо, можно, если по аналогии подвергнуть воздействию независимой периодической силы динамическую систему с устойчивым режимом автономных биений. Такая система выше была рассмотрена - это автономная
261 модель двух связанных генераторов с инерционной нелинейностью. Исследуем случай неавтономных колебаний, введя гармоническое возмущение в правую чать первого уравнения автономной системы (13.1):
(I-T2)^i= У\ * хх(т-zx) + у [уг+х2(т - г2)\ + Aosui (2 тт/внт),
(1 -72)-? = Уг + x2(tv -z2) + у Iyl +Xtim-Zl)],
Уі = -Jt., і. = -gzi +gf(xx)x\, <1315>
y2= -X2, Z2= -gz2 + g f(x2) x\.
По сравнению с (13.1) добавилось два параметра: амплитуда B0 и частота /вн внешнего сигнала; явно вошло время т
Для B0 = 0 в (13.15) из асимметричного периодического режима мягко рождается устойчивый двумерный тор T2 На плоскости параметров ти7 рождению T2 отвечает линия бифуркации I0 коразмерности 1 (рис. 13.4а) на которой пара комплексно-сопряженных мультипликаторов цикла Р" выходит на единичный круг. В дальнейшем зафиксируем значения параметров т = 1,59, g = 0.3 и 7 = 03. соответствующих при B0 =0 режиму T2 с двумя рационально не связанными частотами 2я/, = 0,684 ... и Iirf2 = = 0,283 .... и будем численно изучать неавтономные режимы колебаний на плоскости параметров B0 и /вн в области 0 <В0 < 0,7 и 0,1 </ви < ' [132].
На рис. 13.11 дан фрагмент бифуркацинной диаграммы в окрестности одной из собственных частот T2 /,. отражающий наиболее вероятные режимы колебаний. В секторе 1 наблюдаются трехчастотные колебания с базовыми частотами /,, f2, /вн. При непрерывном изменении /вн в 1 возможны резонансы на Ti. Типичный спектр ляпуновских характеристических показателей в секторе 1 содержит три старших нулевых. В секторе 2 осуществляется захват частоты f\ с асинхронным подавлением второй из собственных частот /2. Система в секторе 2 синхронизуется внешним сигналом (двукратное вырождение).
Сектор 3 отвечает двухчастотным биениям, которые возникают либо за счет подавления частоты /2 на базе частот /. и/вн, либо за счет резонанса между /2 и /вн, когда соотношение частот /2//вн рационально. При вариации B0 и /вн в секторе 3 возможны резонансные циклы на T2. т.е. синхронизация T2 ~*Т?р. На границе между секторами 3 и 4 двумерный тор разрушается с образованием тор-аттрактора С42, механизм рождения которого мягкий, обусловленный потерей режимом T2 гладкости. Спектр ЛХП в секторе 4 включает один положительный показатель, ляпуновская размерность аттрактора CA2 здесь 2<DL<4.
