Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
неравенствам s^>s0 иs 1, имеем:
Отсюда следует, что если на интервале 1 существует не-
подвижная точка преобразования П, то она является устойчивой и, кроме того, единственной (на этом интервале), так как на указанном выше интервале изменения s разность Sr-S является монотонно убывающей функцией s и поэтому не может обращаться в нуль более одного раза. Поскольку Sr — s<^0 при s= 1, то эта неподвижная точка существует только при
а>а,(А),
когда при S= ^ разность s' — s=(s')T = Tl — ^^>0. § 131 симметричный мультивибратор
883
Если же 3<а, (k), ТО при S=I", если V0 < ~ , ИЛИ при S = -V0, если | <Cs,o<Cl. разность s' — s<[0 и будет отрицательной величиной при всех S на рассматриваемом интервале, так как там Js^sr — s)<0'). Следовательно, в этом случае преобразование Il не имеет неподвижных точек на интервале -^<[s<[l.
Таким образом, при —1 преобразование П не имеет неподвижных точек как при k<^kt, так и при но а<[а,(А), и
имеет две неподвижные точки ^устойчивую на интервале і и
неустойчивую на интервале S0 <[ S <[ у j при k и а, (А) <[ а —1.
4. Диаграммы Ламерея. Мягкий и жесткий режимы установления разрывных автоколебаний. Сказанное выше относительно преобразования П и его неподвижных точек позволяет построить диаграммы Ламерея (графики функции соответствия на плоскости s, Sr) и с их помощью проанализировать возможные режимы работы мультивибратора. Семейство графиков функции соответствия Sr=II(S), построенных для различных а, имеет вид, приведенный на рис. 591 при А ^>?| = 2,2... и на рис. 592 при (напомним, что мы
рассматриваем случай 1 -f- а и 1 а> а)-
При —1 преобразование II существует при всех s)>0 и имеет единственную и устойчивую неподвижную точку S* (0 <[s*sS 1),
k — 1
') Мы не рассматриваем случая 1 < su < 1 h—г+-»' так как в эт°м
чае преобразование П не существует при s < 1 и, следовательно, не имеет никаких неподвижных точек. 884
разрывны?. колебания
[гл. X
к которой, как нетрудно убедиться хотя бы путем построения «лестниц Ламерея», сходятся все последовательности точек пересечения траекторий системы с полупрямыми T1 и Г2; соответственно в фазовом пространстве существует единственный и устойчивый разрывный предельный цикл, к которому приближаются (при -|-оо) все остальные траектории. Таким образом, при — 1 (при Eg^> — и0) в мультивибраторе устанавливаются одни и те же периодические разрывные колебания (разрывные автоколебания) при любых начальных условиях, т. е. имеет место мягкий "режим установления разрывных автоколебаний.
При а — 1 в фазовом пространстве имеется устойчивое состояние равновесия, а точечное преобразование П существует только
при s^>s0 (s0^>0 и зависит от k и а; точкам 0<^s<^s0 соответствуют траектории системы, асимптотически приближающиеся к состоянию равновесия без выхода на границу области «медленных» движений). В зависимости от значений параметров k и а возможны два случая.
При а также при k~^>klt но ?-?^^(?)-^—1, преобразо-
вание П не имеет неподвижных точек, SrK^S при всех s S0 и, следовательно, все последовательности точек пересечения траекторий (на плоскости Jr1, х.г) с полупрямыми T1 и являются конечными, причем последняя точка лежит в интервале 0<^s<^s0. Следовательно, в этом случае в мультивибраторе (после конечного числа разрывных колебаний) устанавливается устойчивое состояние равновесия (при любых начальных условиях), т. е. мультивибратор не может совершать автоколебаний.
При k ^k1 = 2,2... и —1 точечное преобразова-
ние П имеет две неподвижные точки s* и S9 (5о <С т О»
первая из которых является неустойчивой, вторая — устойчивой. Соответственно в фазовом пространстве, кроме устойчивого состояния
Рис. 592. § 131
симметричный мультивибратор
885
равновесия, имеются еще два разрывных предельных цичла, один из которых (соответствующий s = s?) устойчив, а другой (соответствующий s = s*) неустойчив. Нетрудно видеть, что все последовательности точек пересечения траекторий системы с полупрямыми T1 и Г9
S, S1, S2, . . .
с начальными точками s^>sf сходятся к устойчивой неподвижной точке S2, а последовательности с начальными точками s<^s* являются конечными, так как последняя точка sjv<^s0 (в этом можно убедиться, например, путем построения «лестниц Ламерея»),
Таким образом, в этом случае в зависимости о г начальных условий устанавливается или устойчивое состояние равновесия, или устойчивый автоколебательный режим, т. е. в мультивибратора имеет место-жесткий режим установления разрывных автоколебаний'). При фиксированном когда O1 = O1 (k)<^ — 1, мы получаем типичную
для жесткого режима «гистерезисную» зависимость амплитуды автоколебаний от сеточного смещения Eg (от параметра о). Пусть о достаточно медленно возрастает, начиная с отрицательных значений O^O1. Тогда мультивибратор будет находиться в состоянии равновесия до тех пор, пока о не достигнет значения о = —1, при котором состояние равновесия становится неустойчивым. При о = —1 мультивибратор перейдет в автоколебательный режим с конечной, отличной от нуля амплитудой колебаний (напомним, что автоколебательный режим существует при O^O1). При дальнейшем увеличении сеточного смещения автоколебания сохраняются, причем их амплитуда непрерывно возрастает. Если теперь мы будем изменять сеточное смещение в обратном направлении, т. е. будем уменьшать параметр о (опять достаточно медленно), то автоколебания в мультивибраторе будут сохраняться при o^>ot (их амплитуда будет непрерывно уменьшаться, причем она будет стремиться к конечной, отличной от нуля величите при O-O1^-O). При O = O1 автоколебания срываются, так как устойчивый предельный цикл сливается с неустойчивым, и в мультивибраторе устанавливается состояние равновесия2).
