Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
') Для периодически повторяющихся замыканий и размыканий цепи потенциометра R3 можно применить круговой выключатель, вращающийся равномерно при помощи электромотора, или же быстродействующее (например, поляризованное) реле, обмотка которого питается переменным напряжением подходящей (звуковой) частоты.
а) На всех приведенных фотографиях движение «представляющей точки» происходит против часовой стрелки. дополнение it
901
фазовый портрет в отсутствии обратной связи — обычную картину для колебательной системы со сравнительно большим затуханием.
Рис. 600, б соответствует наличию обратной связи, еще не достигающей критического значения. Фазовый портрет дает ту же картину, характерную для осциллятора с меньшим, чем в'первом случае, затуханием
Амплитуда
колебаний (затухание меньше из-за наличия обратной связи). Рис. 600, а дает фазовый портрет лампового генератора с обратной связью, 29 Теория колебаний 902
дополнение iii
превышающей критическую, но еще не дающей самовозбуждения. Фазовый портрет содержит два предельных цикла, причем внешний цикл устойчив, а внутренний неустойчив. Для того чтобы сфотографировать неустойчивый предельный цикл, поступали следующим образом. Начальные условия подбирались так, чтобы они соответствовали некоторой точке, лежащей как раз на неустойчивом предельном цикле. Так как у самого предельного цикла фазовые траектории отходят от него очень медленно, то за время одного движения (за время разомкнутого выключателя Р) представляющая точка не успевает сколько-нибудь заметно отойти от предельного цикла.
наблюдателя
Рис. 602.
В конечном счете на фотографии получается изображение неустойчивого предельного цикла. Необходимо иметь в виду, ^to фотография на рис. 600, в (так же как и следующая, на рис. 600, г) представляет собой, в сущности, комбинацию из двух фотографий, соответствующих двум различным начальным состояниям генератора: одному, лежащему вне устойчивого предельного цикла, и другому, лежащему как раз на неустойчивом предельном цикле. Рис. 600, г соответствует сильной обратной связи, при которой имеет место самовозбуждение генератора и на фазовой плоскости существует только один, и притом устойчивый, предельный цикл. Этот портрет, как и предыдущий, получен двукратным фотографированием, т. е. фотографированием двух фазовых траекторий, одна из которых начинается вне предельного цикла, а другая — внутри него.
Фазовые траектории в трехмерном фазовом, пространстве можно наблюдать при помощи двух осциллографов и стереоскопической приставки. Блок-схема такой установки изображена на рис. 602. Напряжения, пропорциональные трем координатам х, у, z фазового пространства, подаются с исследуемой системы на простое суммирующее дополнение iii
903
устройство и на осциллографы; напряжение, пропорциональное координате у, подается непосредственно на оба осциллографа — на отклоняющие по вертикали пластины трубок осциллографов, а напряжения, пропорциональные координатам х и z, подаются на суммирующее устройство, на одном выходе которого получается напряжение, пропорциональное X — kz, а на другом — напряжение, пропорциональное X -(- kz. Напряжения с выходов суммирующего устройства подаются соответственно на отклоняющие по горизонтали пластины трубок левого и правого осциллографов. В итоге на экранах осциллографов получаются изображения фазовых траекторий в проекциях для левого и правого глаза, которые при одновременном наблюдении через стереоскопическую приставку дают фазовые траектории, видимые (из-за стереоэффекта) в пространстве. Для многократно повторяемого задания одних и тех же начальных условий в исследуемой системе применяется прерыватель, аналогичный примененному в изложенной выше работе В. Бовшеверова').
ДОПОЛНЕНИЕ 111 НЕКОТОРЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
sin 3Z = 2 2 cos 1z.
sin3 Z = 3 4~ sin Z- —sin Зг. 4
Sin iZ = 3 8 1 2 cos '2z -(- cos 4z.
Sins 2 = 5 8 sin Z - — fb sin 3z -Io -f- }G sin 5z.
Sinfi2 = 5 16 15 32" cos Iz -f 1 cos 4z —
cos5 г COS:t Z COSi Z
') Подобная установка была разработана на кафедре теории колебаний Горьковского университета (студентом-дипломником Г.Г.Денисовым) в 1952 г. Заметим, что примененное линеііное преобразование координат не учитывает уменьшения угловых размеров объектов при их удалении от наблюдателя; поэтому в этой установке фазовые траектории наблюдаются с некоторым искажением перспективы.
29*
1 і 1 о
= Y + у cos 2z-
3 ,1„
= COS Z + — COS 3z.
4 1 4
= -тг- -]—cos Iz -[—cos 4z. 904
дополнение iii
COS •' г :
COS г
16
cos 2>z
Ї6
cos 5z.
с 5 COS Z = -Tw 16
15 0 - g.y COS Iz -
16
cos 4z ¦
32
QOS 6Z.
. о 1 Io
sin Z COS Z ^= — COS Z--.- COS 3z.
4 4
COS2 г sin г = -J- sin г -I--J- Sin 32.
4 1 4
(Выражения типа cos2 z sin z, sin2 г cos г могут быть получены из вышеприведенных формул для sin3 г и cos3 Z простым дифференцированием.)
Sin а sin ? = [cos (а — ?) — cos (a -j- ?)]. Sin a COS ? = [sin (a -(- ?) -)- Sin (a — ?)]. cos a cos ? = -j- [cos (a — ?) -)- cos (a. -)- ?)].
