Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 595.
dx2
хг —к (хі + 1)
dXi
1-(1+*)*,'
Интегрируя это уравнение и используя начальное условие: X2 = —1 при X1 мы получим следующее уравнение рассматриваемой сепаратрисы A1A2 (в делах области (III)):
X2 = - к
к ( к — 1
-X1
к к— 1
1
1
= 0, пре-
1+а
') Другая сепаратриса, асимптотически приближающаяся к особой точке A1, идет в области (I/): — 1 ^ X1 ^ 0, X2 > 0, и является (в пределах этой области) отрезком прямой X2 = X (X1+ 1) с угловым коэффициентом
-i+vW+7- § 131
симметричный мультивибратор
889
Построенная по полученным уравнениям траектория «быстрого» движения A1A2— сепаратриса особой точки A1 — изображена на рис. 595 и 594, а.
Отметим также, что уравнения (10.94) позволяют получить приближенную зависимость переменных X1 и X2 от t во время «быстрогоj, скачкообразного движения изображающей точки с границы малой окрестности точки A1 на границу малой окрестности точки A2. Например, нетрудно показать, что интервал времени, за который изображающая точка переходит с границы OiYv- )-окрестности точки A1 на границу О (Yv )-окрестности точки A2,
является величиной порядка (J-In — .
V
В точке A2 «быстрое» движение изображающей точки переходит в «полубыстрое», происходящее по траектории, близкой к прямой
X2 -f kXi : const :
= xf -f kx'i" = — k\
по этой траектории изображающая точка за интервал времени по-1 + «
рядка
приходит в точку A3
xf= — k,
1+? с координатами:
Xi3' : 0,
уТ = 0, y'i' = 0.
Далее изображающая точка движется по траектории «медленного» движения А3А\:
х, = 0
Рис. 596.
(со скоростью изменения переменного Xs порядка единицы). Для этой траектории
(см. уравнения (10.79в)) и, следовательно,
X2 = о — (k -[- о) е~'
(за начало отсчета времени ^ = O выэран тот момент времени, когда
изображающая точка находилась в точке Л3). Поэтому изображающая
точка через интервал времени
* . к 4-а X* = In —I—¦ / + а
придет на полупрямую Г2 в точке А\, откуда снова начнется «быстрое» движение. Вторая половина предельного цикла AiA^iAi симметрична 890
разрывны?. колебАния
[гл. X
только что рассмотренной половине AiA1AiAl (в пространстве at1, at21JZ11JZ12 — относительно плоскости x1 = at2, JZ1=JZ21 а на плоскостях xll x4 HJZll JZj — относительно биссектрис x1 = x2 HJZ1=JZ2).
Зная разрывный предельный цикл A1A2AaAjA2AjA1 (рис. 594), нетрудно построить осциллограммы напряжений в мультивибраторе во время автоколебаний, соответствующих движению изображающей точки по этому предельному циклу. Такие осциллограммы для напряжений Ui, г», и M0J = Ki-I--Xz1 приведены на рис. 596. Автоколебания будут симметричными, поэтому, если пренебречь длительностью «быстрых» и «полубыстрых» движеиий, то период разрывных
Рис. 597. Фотографий разрывного предельного цикла (на плоскости U1, u2). / — траектории «меї-ленных» движений; 2—траектории «полубыстрых» движений; 3—траектории «быстрых» движений.
автоколебаний мультивибратора с сеточными токами при о^О (при EgT^=Q) равен
T = 2т* = 2 In^iji
1 +а
(в единицах безразмерного времени) и
SRa I f,
Г = 2 (tfe + Rg) С In 1 + RtJRg U1.
1 + - »
Uo
(в обычных единицах).
В заключение параграфа заметим, что экспгрим;нтатьная проверка полностью (и качественно и количественно) подтверждает развитую здесь теорию. Для примера m.j приведем фотографию пре- § 131
симмптричйый ' мультивибратор
891
дельного никла на плоскости напряжений H1, Vi (рис. 597") и фотографии осциллограмм напряжений vlt и Uai (рис. 598), пслу.енные
Um
L
T......" V" I--
г г г г г
-а
Рис. 598.
экспериментально при помощи электронного осциллографа (ср. с рис. 594, а и 596)').
') Для того чтобы на фотографии предельного цикла были видны участки «быстрых» движений,в мультивибраторе были искусственно увеличены паразитные емкости путем подключения емкостей к анодам ламп, а также были выбраны при фотографировании довольно большие экспозиции (из-за большой экспозиции траектории «медленных» и сполубыстрых» движений на фотографии имеют сильный ореол). ДОПОЛНЕНИЕ I
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В настоящем дополнении без доказательств формулируются те основные предложения, касающиеся дифференциальных уравнений, которые использованы в тексте книги. Доказательство этих теорем читатель может найти, например, в [103, 113, 129].
Пусть дана система дифференциальных уравнений:
dx і
dt dx„
Р\(Х\, Xi, . . . , Xn, t),
(Д.1)
^t — Pn (A"I> jirSi • • • > хю 0
(п — любое целое число), где функции Pi (jc1, jc3, ... , jc„, t) определены в некоторой открытой области R, непрерывны в этой области и имеют непрерывные частные производные по jc1, jc2, . . . , jcn. Это требование, во всяком случае, выполнено/ когда правые части — аналитические функции переменных Jc1, jc2, ..., jc„, t.
Теорема 1 (о существовании и единственности решения). Какую бы точку Af0 (?0, jcS, ..., jcn) области R мы ни взяли, существуют содержащий t0 интервал значений t (tl<^t<^ti) и одна и только одна система функций
