Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
и ее координаты определяются по заданному значению следующими уравнениями, получаемыми из (10.76):
X1* + ^ (Xj) = As-1, Xi -fAxi" = s— 1 + аф (s — 1) — А; (10.80) в частности, при точка (xj-, Xi) лежит в области (II):
Xi = As-1<0, Xi= — (А4 — 1) S — 1, (10.80а) а при точка (X1-, X2) лежит в области (///)*).
') Отсутствие замкнутых фазовых траекторий, лежащих целиком в области «медленных» движений, можно также доказать, применяя критерий Бендиксона к уравнению интегральных кривых
(IXn ___P2 (X1, X2)
^X1 P1 (X1, X2)
дР дР
(см. уравнения (10.756)): замкнутых траекторий нет, так как + <. 0
на всей плоскости X1, х2.
s) Геометрическое место концевых точек (х|, xf) скачков изображающей точки из точек полупрямой T1 изображено на рис. 584 пунктирной линией TJ, состоящей из трех прямолинейных отрезков. На том же рисунке ломаной линией Г2, идущей симметрично линии TJ, изображено геометрическое место концевых точек скачков изображающей точки из точек полупрямой Г2.
1IiII Теория колебаний 866
РАЗРЫВНЫ?. КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
Из точки (аг|, аг2) изображающая точка будет двигаться далее по траектории «медленного» движения, проходящей через эту точку, и или придет в некоторую точку полупрямой Г2 (с координатой s') или же будет асимптотически приближаться к состоянию равновесия (о, о), лежащему в области (/). В первом случае точка s полупрямой T1 имеет последующую точку Sr на полупрямой Г2, причем, как нетрудно видеть, функция соответствия
Sf = H(S)
является однозначной и непрерывной; во втором случае (он может иметь место только при 1) точка s полупрямой T1 не имеет
последующей ни на полупрямой Г2, ни на полупрямой T1.
Точно таким же (в силу симметрии схемы) будет и преобразование точек (s—1, —1) полупрямой Г2 в точки (—1, s'—1) полупрямой Г2, т. е. координата Sr последующей точки (на полупрямой T1), если она существует, определяется по координате s исходной точки (на полупрямой Г2) ТОЙ же функцией соответствия Sf = II(S). Поэтому ниже мы будем иметь дело с одним точечным преобразованием полупрямых T1 и Г2 друг в друга, которое будем обозначать через П. Применяя многократно это преобразование, мы получим последовательность точек пересечения рассматриваемой траектории с полупрямыми I11 и Г2:
s, S1, S2, ... , sft, SllJrit ... ,
в которой координата (т. е. Ar2 -f-1 на полупрямой T1 и Ar1 -f- 1 на полупрямой Г2) каждой последующей точки пересечения определяется по координате предыдущей точки функцией соответствия преобразования П:
S1 = U(S),
st = П (S1).....
sk+i = П(sft), ...
независимо от того, на какой из полупрямых (на T1 или на Г2) лежит предыдущая точка пересечения.
Зная последовательности точек пересечения траекторий с полупрямыми T1 и Г2, мы, очевидно, сможем проследить за колебаниями мультивибратора. Например, если точечное преобразование П имеет устойчивую неподвижную точку s* и данная последовательность s, S1, s2, ... сходится к ней, то это, очевидно, означает, что существует устойчивый разрывный предельный цикл, к которому асимптотически (при t — 4" приближается рассматриваемая траектория, т. е. это означает, что в мультивибраторе устанавливаются периодические разрывные колебания. Если же последовательность точек s, S1, S2, ... —конечная, т. е. если некоторая точка Sjv не имеет последующей, то траектория, соответствующая этой последователь- §' 13] СИММЕТРИЧНЫЙ МУЛЬТИВИБРАТОР
867
ности, после N пересечений с полупрямыми T1 и Г2 не выходит более на границу области «медленных» движений и идет, следовательно, к устойчивому состоянию равновесия (этот случай возможен только при — 1).
3. Точечное преобразование П. Перейдем к вычислению и исследованию функции соответствия Sf = II(S) точечного преобразования П, рассматривая, как и раньше (но более детально), ход траекторий системы, начинающихся в точках полупрямой T1. Обозначим, как и раньше, через S координату начальной (исходной) точки на полупрямой T1, через Arjh, — координаты концевой точки скачка изображающей точки из точки S полупрямой T1 (точка (xf, ArJ) лежит в области (II) или (III)), через L — положительную полутраекторию «медленного» движения, начинающуюся в точке (Ar1", Arf), и через Sf — координату точки выхода полутраектории L на полупрямую Г2 — координату последующей точки преобразования П, если последняя существует, т. е. если L выходит на I12. Сделаем сначала следующие замечания.
1) Так как Arf и Arf являются непрерывными кусочно-линейными функциями s, а правые части дифференциальных уравнений «медленных» движений (10.75 6) — кусочно-линейными функциями X1 и at2, то функция соответствия Sf = II (s) будет непрерывной кусочно-
ds'
дифференцируемой функцией (производная имеет разрыв непре-
1 14
рывности первого рода в точках s==-? и s= 1).
2) Пусть S1 и S2 — координаты двух исходных точек преобразования П, причем S2^s1 и точка S1 имеет последующую s|. Тогда и точка S2 будет иметь последующую S2, причем s2^>s|; следовательно, функция соответствия s' = II(s) является монотонно возрастающей и
