Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
то, дифференцируя эти соотношения по о, получим: в области (II)
— \dXi I = — х' ~Хг п
да ydX11 (з — X1)2 ^ '
в области (III)
- = — M J- пЛ С + ?) X, — х8 да dx.
Ч— <-1 I „л С +?) X1 -X8
-J--O+a) |3_(l+3)Xi]2<0,
т. е. в обеих областях при увеличении о происходит поворот по часовой стрелке векторного поля направлений касательных к траекториям «медленных» движений системы; в области (III)
в силу условий (10.78), поэтому поворотом векторного поля направлений касательных к траекториям в эгоЯ области мы будем в дальнейшем пренебрегать. Так как, кроме того, координаты концевых точек скачков х," и х* от о не зависят, то мы, очевидно, можем утверждать, что при увеличении о точки выхода на полупрямую Г.2 положительных нэ іутраекторий L, соответствующих любым заданным (фиксированным) значениям s, сдвигаются вправо. Следовательно,
^>0; (10.81)
очевидно, я» 0 для тех значений s, которым соответствуют поіу-
граектории L, лежащие целиком в области (III)'). Таким образом, при уменьшении о график функции соответствия / = IT(S) на диаграмме Ламерея (на плоскости s, Sr) или не изменяется, или же хотя бы частично смещается вниз.
Перейдем теперь к вычислению и более детальному исследованию функции соответствия s'= П(s) точечного преобразования П. В связи с тем, что уравнения скачка (10.80), а также дифференциальные уравнения «медленных» движений являотся кусочно-линейными, нам придется разбить интервал изменения s: 0<^s<^-j-oo
') Для этих значений s ~ является малой величиной порядка 1 "t" ° и да 1 + ?
з§ 13] симметричный мультивибратор 871
при O^:—1 и So<Cs<C"H°° ПРИ 0<С—1 на интервалы, в каждом из которых указанные уравнения линейны, и затем на каждом из них провести вычисление функции соответствия.
а) Точечное преобразование П для s ^ 1 * ~ ^. При достаточно больших S изображающая точка после скачка в точку (xf, xf) попадает на одну из траекторий «полубыстрых» движений в области (///):
ха 4" ^xl = а = const — 1
и по ней приходит на полупрямую Г9 в точке с абсциссой х] = — 1 +а - 0. Так как
k
a = xf + = +a)(s — 1)-k согласно (10.80), то этот случай имеет место только при
A-I_k 4-а
1
1 +а 1 +а
и координата последующей точки преобразования П s' = 1 -(- х! =
? = 1. (10.82)
+" і і -?- + I или
Отметим, ЧТО точке 5=1 -j- YTfTS соответствует последующая Sf=I
и что при 5^> 1 Ts = ' ^fe "^ ^ согласно первому из нера-
венств (10.78)'). Поэтому s'<^s и точечное преобразование П не
k_і
может иметь неподвижной точки с координатой s* ^ 1 ^ -.
1 It_і
б) Точечное преобразование П для =? s 1 + JTjTi 11 0^ —
1 It_і
При 5 1 і д концевая точка скачка (xf, xf) также лежит в области (III), но теперь изображающая точка по соответствующей траектории «полубыстрого» движения:
X9 -J- = а = х* + Ьх[ <^ — 1
1) Выражения для s и , приведенные выше, являются, конечно, при-
• +а
блмженными; они отличаются от точных на малые величины порядка "[TjTji и
Г+Т
28«872 разрывные колебания [гл. x
или попадает в малую окрестность фазовой траектории «медленного» движения
о
X1 = X0 = j О
при о :? 0 и выходит на полупрямую Ts в точке с абсциссой х| «s г^х0«=;0, или же при а<^ 0 выходит на границу областей (III) и (II) в точке (0, а) и затем переходит в область (II).
Таким образом, при о ^ О координата последующей точки
Sf=I1); (10.83)
следовательно, при о^О точка s* = l будет являться неподвижной точкой преобразования П и притом устойчивой.
Рассмотрим теперь случай —Интегрируя дифференциальные уравнения (10.796), нетрудно получить следующие уравнения траектории, лежащей в области (II) и начинающейся (при ^ = 0) в точке (0, а):
Xj = o(l— е~'), )
X2 = о — (о a + kat) е~К ) (1°'84)
Изображающая точка, двигаясь по этой траектории, выйдет при некотором t = X 0 на полупрямую Г2. Для этого момента времени имеем:
Sf- 1=о(1 — е~т), — 1 = о — (о — a + k<3\)e~x.
Так как
(1 -(- a) (s— 1) — k призмі, s—1—k при і-«с s =^1,
то, разрешая полученные уравнения относительно s и получим следующие уравнения (в параметрической форме) для функции соответствия преобразования II:
при 1 s <М
' 1+а
х і fe + a + feax-(l + c)g*
' 1+° ' \ (10.85а)
s'=i+о(1 — 0;
ds'
') Точнее, s' = l + g(s) и ^=g'(s), где g(s) и g' (s) — малые величины 1+a а
порядка J-P1H-§' 13] симметричный мультивибратор 873
при |
S=I Jr k-{-a Jr kai — (1+0)е\ ]
Sf=I+ 0(1-О; J (10-85б)
заметим, что уравнения (10.856) получаются из (10.85а), если заменить в последних а на 0. Точке s = 1 \ соответствует значение т = 0 и s'= 1, точке s=l— значение T = T1, точке S = ^-—
Рис. 587.
значение т = т2, где T1 и т2 —значения параметра т, определяемые однозначно уравнениями:
(1 + о) = A + о + Aot1, ]
1 [ (10.86) (1+о)^=1-|+А + о + Аот2 J
(графическое решение этих уравнений приведено на рис. 587; очевидно, что T2^t1). Так как
ds\ -1+, "Ри 1<®<1+ТчГІ' "¦
dZ 1 Ao-(l + o)e^ при у<5<1, ds'
^- = ое~т<^0, поскольку о<^0,