Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Дифференциальное уравнение может иметь, вообще говоря, много особых точек. В нашем случае имеется единственная особая точка JC = O, .у = 0. Существуют разные типы особых точек, различаемые по характеру поведения интегральных кривых вблизи данной особой точки. В рассматриваемом нами случае через особую точку не проходит ни одна интегральная кривая. Такая изолированная особая точка, вблизи которой интегральные кривые представляют собой замкнутые кривые, не имеющие особенностей, в частности, например, эллипсы, «вложенные» друг в друга и охватывающие особую точку, называется центром. С другими типами простейших особых точек мы познакомимся при рассмотрении дальнейших примеров. Пока же ограничимся только указанием, что поскольку разным типам
') К теореме Коши и ее значению для исследования поведения интегральных кривых мы еще вернемся в дальнейшем (см. также Дополнение 1). 42
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[гл. I
интегральных кривых соответствуют различные типы движений системы, классификация особых точек непосредственно связана с поведением системы вблизи особой точки.
4. Изоклины. Итак, уравнение (1.11) определяет поле касательных на фазовой плоскости. Нетрудно отдать себе отчет в характере этого поля, если построить семейство изоклинкоторые в данном
случае будут просто прямыми,проходящими через начало координат (рис. 13). Действительно, пусть мы ищем все те точки фазовой плоскости, где наклон интегральных кри-dJL^-.
вых равняется х Тогда
согласно (1.11) уравнение этой изоклины будет:
2 X
— W0- = V. или у = ох,
где
Рис. 13.
(1.12)
Нетрудно видеть (давая о различные значения при фиксированном wo)> что исследуемое поле состоит из линейных элементов, симметрично расположенных относительно осей X и у, постепенно (с изменением наклона изоклины о) меняющих свое направление от горизонтального (вдоль оси у, где и = 0) до вертикального (вдоль ОСИ X, где X = ос).
Уравнение (1.11) не дает, однако, ответа на вопрос о том, в какую сторону и с какой скоростью будет двигаться изображающая точка на фазовой плоскости. Уравнения же (1.10) определяют фазовую скорость как по величине, так и по направлению; действительно,
V=Lsfr + IV = Iy 4-j(—mg*). (1.13)
Если принять во внимание и направ- Рис. 14.
ление, то целесообразно вместо
поля линейных элементов (рис. 13) рассматривать векторное поле (рис. 14), которое характеризует не только направление касательной к интегральной кривой в данной точке, но и направление движения по фазовой траектории.
Изоклина — это геометрическое место точек, в которых касательные ко всем интегральным кривым имеют одинаковый наклон, т. е. образуют одинаковые углы с осью абсцисс. ПОНЯТИЕ О ФАЗОВОЙ плоскости
43
Как мы уже указывали, фазовая скорость = ш*х* обра-
щается в нуль только в начале координат, т. е. только в особой точке.
Нетрудно, взглянув на рис. 13 и 14, убедиться, что метод изоклин в рассматриваемом случае позволяет сразу получить известное представление о характере траекторий на фазовой плоскости. Конечно, применение метода изоклин в рассматриваемом простейшем случае, когда исходное дифференциальное уравнение (1.11) допускает разделение переменных и, следовательно, легко интегрируется, вряд ли представляет какие-либо преимущества. В самом деле, интегрируя уравнение
xdx Дг У dy = О,
ш0
получим:
— с
или, полагая 2C = Ki, находим, как и следовало ожидать, на фазовой плоскости по-прежнему уравнение семейства эллипсов:
к* I ISS 2 — 1 •
Л К ш0
Не следует забывать, что сейчас мы его получили совсем другим путем, не зная решений дифференциального уравнения (1.1). В тех же случаях, когда уравнение, подобное (1.11), не может быть проинтегрировано, метод изоклин позволяет получить достаточно точное представление о характере интегральных кривых на фазовой плоскости, несмотря на то, что аналитическое выражение для этих интегральных кривых не может быть найдено. В этих более сложных случаях применение метода изоклин, как мы увидим в дальнейшем, может принести существенную пользу.
5. Состояние равновесия и периодические движения. Сделаем теперь обратные выводы по отношению к тем, которые мы делали в начале этого параграфа, когда, зная движение, зная зависимость X от t, искали вид фазовой плоскости. Посмотрим, что можно сказать о характере движения, зная характер интегральных кривых на фазовой плоскости и зная выражение для фазовой скорости.
Во-первых, мы утверждаем, что все фазовые траектории в нашем случае (кроме траектории х = 0, у = 0, которая выродилась в точку) соответствуют периодическим движениям. Действительно, все эти траектории — эллипсы, т. е. замкнутые кривые. Если наша изображающая точка двигается по замкнутой кривой и если она возвращается через некоторое время, совершив «обход», в ту же самую 44 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. I
точку фазовой плоскости, т. е. имеет через некоторое время то же самое положение и ту же самую скорость, то дальнейшее движение будет совершенно точно совпадать с предшествовавшим, процесс будет повторяться.
